4.3. Пример
Для напряженного состояния изображенного на рис. 4.2 определить: 1) главные напряжения и положение главных площадок; 2) максимальные касательные напряжения; 3) относительные деформации εх, εу, εz; 4) относительное изменение объёма; 5) полную удельную потенциальную энергию деформации, если дано σx= 20 МПа, σy= 40 МПа, τx= 30 МПа.
Решение
В соответствии с рис. 4.2 имеем:
σx = -20 МПа, σy = 40 МПа, τx = - 30 МПа, τy = 30 МПа.
4.3.1. Находим главные напряжения:
Направление главных площадок:
Этот угол откладываем от вертикали (алгебраически большее из главных напряжений) против часовой стрелки и получаем направление σ1, направление σ3 перпендикулярно ему (см. рис. 4.2).
4.3.2. Находим максимальные касательные напряжения, которые будут действовать на площадках, наклонённых под углом 45º к главным площадкам:
4.3.3. Находим относительные деформации:
4.3.4. Находим относительное изменение объёма:
4.4.5. Находим полную удельную потенциальную энергию деформаций:
Глава 5 кручение стержней круглого поперечного сечения
5.1. Крутящие моменты
Если нагрузка на прямолинейный стержень (вал) состоит только из моментов Мк, плоскости которых перпендикулярны к продольной оси стержня, то из шести внутренних силовых факторов в любом сечении остаётся только крутящий момент Мкр.
Внутренний момент Мкр выражается через внешние Мк. Крутящий момент Мкр в произвольном поперечном сечении равен алгебраической сумме внешних (скручивающих) моментов Мк, приложенных к брусу по одну сторону от сечения:
(5.1)
Правило знаков: крутящий момент Мкр считается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части бруса он действует по движению часовой стрелки (рис. 7.1).
5.2. Напряжения и деформации
Основные допущения, принятые в теории кручения круглых стержней, выполненных из однородного, идеально упругого материала:
а) гипотеза плоских сечений – поперечные сечения плоские до деформации остаются плоскими в результате деформации, поворачиваясь вокруг оси стержня на некоторый угол;
б) ось стержня при кручении не искривляется;
в) удлинение продольных волокон стержня отсутствует;
г) радиусы поперечных сечений стержня при кручении остаются прямыми, поворачиваясь на определённый угол;
д) в поперечных сечениях стержня возникают только касательные напряжения.
Таким образом, кручение можно рассматривать как чистый сдвиг, вызываемый поворотом одного поперечного сечения относительно другого. При этом в поперечных сечениях возникают касательные напряжения (см. рис. 5.2):
(5.2)
где τ – касательное напряжение в рассматриваемой точке;
ρ – расстояние от исследуемой точки до оси стержня;
I – полярный момент инерции.
Для круглого сечения I = πD4/32.
Для кольца I = πD4(1 – α4)/32, где α = d/D.
Наибольшие касательные напряжения – у поверхности стержня (см. рис. 5.1, а, б):
(5.3)
где W– полярный момент сопротивления.
Для круглого сечения W = πD3/16 ,
для кольцевого сечения W = πD3(1–α4)/16.
Для вычисления I и W можно пользоваться приближёнными формулами, дающими ошибку в 2%:
I = 0,1D4; W = 0,2D3 – для сплошного стержня,
I = 0,1D4(1 - α4); W=0,2D3(1 – α4) – для полого стержня.
Углы закручивания при постоянном крутящем моменте на длине определяют по формулам:
для сплошного стержня
(5.4)
для полого стержня
(5.5)