3.4. Расчет по предельному состоянию

Для системы, (рис. 3.1) предельным состоянием будет поворот жесткой балки вокруг шарнирно неподвижной опоры А, при котором усилия в стержнях должны достигнуть предельного значения:

где ‑ предел текучести.

Построим план сил для рассматриваемой системы в предельном состоянии (рис. 3.4).

Составим уравнение статики:

подставив и сократив уравнение на 2 получим:

Введем единый коэффициент запаса прочности n:

Площади поперечных сечений, полученные при расчете по предельному состоянию, меньше, чем при расчете по допускаемым напряжениям. Таким образом метод расчета по предельному состоянию позволяет вскрыть резервы прочности пластичных материалов. Конструкция получается легче и экономичнее.

Глава 4 теория напряженного состояния

4.1. Понятие о главных напряжениях. Виды

Напряжённого состояния в точке тела.

Напряжённым состоянием в точке называют совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам, проходящим через рассматриваемую точку.

При расчетах на прочность необходимо устанавливать напряженные состояния в опасных точках конструкции.

Для изучения напряжённого состояния в точке рассматривается элементарный параллелепипед dxdydz, вырезанный в окрестности этой точки (рис. 4.1, а).

Главными напряжениями называются нормальные напряжения, действующие на главных площадках. Главными площадками являются те площадки, на которых касательные напряжения равны нулю.

В общем случае главные напряжения действуют на всех трех главных площадках. Они обозначаются ₁, ₂, ₃ и выбираются так, чтобы ₁>₂>₃. В частности, если ₃>0, то все главные напряжения положительны, а если ₁<0, то все главные напряжения отрицательны.

Объемным напряженным состоянием в точке тела называется такое, когда в точке действуют все три главных напряжения (рис. 4.1, б).

Если окажется, что одно из трех главных напряжений равно нулю (либо ₁=0, либо ₂=0, либо ₃=0), то в точке тела имеет место плоское напряженное состояние (рис. 4.1, в).

В тех случаях, когда в точке тела сохраняется одно главное напряжение, а два других равны нулю, напряженное состояние в ней называется линейным (рис. 4.1, г).

4.2. Плоское напряжённое состояние

Плоским называется такое напряжённое состояние, при котором напряжения на любой площадке параллельны той же плоскости, в частности σ₁ ≠ 0, σ₂ ≠ 0, σ₃ = 0 (см. рис. 4.1,в).

4.2.1. Свойство парности касательных напряжений

Касательные напряжения, действующие на двух взаимно перпендикулярных площадках, равны по величине и противоположны по знаку:

(4.1)

4.2.2. Главные напряжения

(4.2)

4.2.3. Направление главных площадок

(4.3)

Положительное значение угла α₀ откладывается против часовой стрелки, отрицательное – по часовой.

4.2.4. Экстремальные касательные напряжения действуют на площадках, наклонённых под углом 45˚ к главным площадкам:

(4.4)

Наибольшие и наименьшие касательные напряжения могут быть выражены через исходные напряжения:

(4.5)

4.2.5. Зависимости между напряжениями и деформациями в пределах упругости. Обобщённый закон Гука.

К омпоненты упругой деформации через напряжения выражаются так:

(4.6)

4.2.6. Относительное изменение объёма

При упругой деформации объём большинства материалов увеличивается при растяжении и уменьшается при сжатии.

В общем (объемном) случае напряжённого состояния относительное изменение объёма равно:

(4.7)

4.2.7. Удельная потенциальная энергия упругой

деформации

Работа внешних сил при деформации переходит во внутреннюю потенциальную энергию. Величина потенциальной энергии при упругой деформации зависит от конечной величины приложенных нагрузок.

Удельная потенциальная энергия деформации (в единице объёма) изотропного тела выражается следующим образом через главные напряжения:

(4.8)