2.4. Пример

Стальной стержень (Е=210⁵ МПа) находится под действием внешних силы Р₁ и Р₂ (рис. 2.3, а). Требуется: 1) построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ и перемещений сечений ; 2) определить насколько изменится длина всего стержня если дано: Р₁=2 кН; Р₂=3,2 кН , []=160 МПа.

Решение

Построение эпюры продольных сил

Эпюра продольных сил N приведена на рис. 2.3, б.

Условие прочности отсюда

Участок АВ

.

Участок ВС

.

Участок ДС

.

Окончательно принимаем .

Построение эпюры нормальных напряжений

По данным значениям строим эпюру  рис. 2.3, в.

Построение эпюры .

Деформация участка

Деформации характерных сечений

Эпюра  показана на рис. 2.3, г.

Длина всего стержня увеличится на

Глава 3 статически неопределимые системы при

РАСТЯЖЕНИИ – СЖАТИИ

Статически неопределимой шарнирно-стержневой системой называется такая система, в которой усилия в стержнях нельзя определить только из уравнений равновесия.

Необходимые для решения задачи дополнительные уравнения можно составить, рассматривая систему в деформированном состоянии и устанавливая связи между перемещениями и деформациями элементов системы. Полученные уравнения называют уравнениями совместности деформаций.

Особенности статически неопределимых систем: определить внутренние усилия в статически неопределимых системах можно только задавшись соотношением жесткостей или площадей поперечных сечений ее элементов; в статически неопределимых системах могут возникать напряжения и при отсутствии внешних нагрузок (из-за неточности изготовления отдельных элементов, смещения опорных закреплений, а также от изменения температуры).

3.1. Расчет статически неопределимых систем

Статически неопределимые системы, элементы которых работают на растяжение – сжатие, будем рассчитывать, решая совместно уравнения, полученные в результате рассмотрения статической, геометрической и физической сторон задачи.

3.1.1. Статическая сторона задачи. Строится план сил для заданной системы. Будем считать все связи, наложенные на систему, кроме стержней, идеальными. Тогда направление их реакций принимается произвольным. Реакции же стержней направляются в соответствии с их работой: растянутых стержней — от узлов, сжатых стержней — к узлам.

Составляются уравнения равновесия в соответствии с планом сил.

3.1.2. Геометрическая сторона задачи. Строится план перемещений. Он должен соответствовать плану сил — растягивающему усилию на плане сил соответствует удлинение в плане перемещений, сжимающему усилию — укорочение. Составляются дополнительные уравнения совместности деформаций в таком количестве, чтобы можно было найти неизвестные усилия.

3.1.3. Физическая сторона задачи. Основным законом физики в сопротивлении материалов является закон Гука. С помощью второй формы закона Гука выражаем деформации через усилия

(3.1)

Е сли, кроме того, задано изменение температуры системы на t^o, то используется еще один физический закон - закон линейного температурного удлинения тел (в случае повышения температуры):

(3.2)

где  — коэффициент линейного расширения; t° – изменение температуры.

3.1.4. Синтез. Производится совместное решение уравнений статики, геометрии, физики и определяются неизвестные усилия.

3.1.5. После раскрытия статической неопределимости (пункт 3.1.1—3.1.4) решается любая из основных задач сопротивления материалов исходя из условия прочности по допускаемым напряжениям.