Глава 2 растяжение и сжатие

2.1. Внутренние усилия

Центральным растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса (стержня) действует только один внутренний силовой фактор — продольная сила N.

Продольная сила в любом поперечном сечении равна алгебраической сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, на продольную ось стержня (которой является ось z). Растягивающие продольные силы принято считать положительными, сжимающие — отрицательными.

(2.1)

2.2. Продольные и поперечные деформации. Закон Гука. Коэффициент Пуассона

Рис. 2.1. Схема деформации стержня

Изменение длины стержня при растяжении и сжатии =₁- называется абсолютной продольной деформацией (абсолютное удлинение или укорочение), а изменение поперечных размеров b=b₁-b – абсолютной поперечной деформацией (абсолютное сужение или расширение) рис. 2.1.

Относительная продольная деформация  (относительное удлинение или укорочение) равна

. (2.2)

Аналогично выражается относительная поперечная деформация ^' (относительное сужение или относительное расширение)

(2.3)

Английский ученый Р. Гук в 1660 г. предложил названный его именем закон, устанавливающий связь между усилиями и деформациями в виде прямо пропорциональной зависимости. Современная формулировка закона Гука – при малых упругих деформациях относительные линейные продольные деформации при растяжении и сжатии, не зависящие от времени, пропорциональны нормальным напряжениям.

, (2.4)

где Е – модуль упругости 1-го рода, называемый еще модулем продольной упругости.

Закон Гука можно записать в другом виде

(2.5)

где EF – жесткость поперечного сечения при растяжении и сжатии.

Формулу (2.5) называют второй формой закона Гука.

В однородных изотропных материалах между продольными и поперечными деформациями существует взаимосвязь, выражающаяся числом , называемым коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона (французский математик и физик С. Д. Пуассон в 1829 г. установил, что продольные и поперечные, упругие деформации связаны прямо пропорциональной зависимостью ^' = -):

(2.6)

2.3. Формула нормальных напряжений при растяжении – сжатии

Продольная сила N, возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределенных по площади поперечного сечения, и связана с нормальными напряжениями зависимостью:

(2.7)

Опытное изучение деформаций растяжения или сжатия подтверждает гипотезу плоских сечений (гипотезу Бернулли)- плоские сечения до деформации остаются плоскими в результате деформации (рис. 2.2).

Это означает, что относительные удлинения всех продольных волокон одинаковы . Воспользуемся законом Гука . Учитывая, что  постоянно, вернемся к выражению 2.7

. (2.8)

Тогда формула нормальных напряжений при растяжении и сжатии принимает вид:

. (2.9)