Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Луцкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Метод_2010_12_1.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2025

Размер:

16.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

3.1. Дослідження напружень та деформацій у точці

Задача 1. Задано напруження

(МПа).

Необхідно знайти головні напруження і напрямні косинуси головних осей (див. п.1). Наведемо детальний поетапний розв’язок цієї задачі.

Основні співвідношення. Для знаходження головних напружень необхідно розв’язати кубічне рівняння (1.6). Для його розв’язування складена програма на мові "Matlab". Для роботи з програмою нижче достатньо задати напруження. Далі курсор розмістити в тексті програми в довільному місці і в меню Notebоok вибрати команду "Evaluate Cell". Початок програми:

sx=150; sy=70; sz=80; txy=-90; txz=-80; tyz=60;

j1=sx+sy+sz; j2=sx*sy+sx*sz+sy*sz-txy^2-txz^2-tyz^2;

j3=sx*sy*sz-sx*tyz^2-sy*txz^2-sz*txy^2+2*txy*txz*tyz;

disp(['Інваріанти' ]);

disp(['j1=',num2str(j1),'; j2=',num2str(j2),'; j3=',num2str(j3)])

p=[1,-j1,j2,-j3];

s=roots(p);

s1=s(1);s2=s(2);s3=s(3);

disp(['Розвязуючи рівняння, знаходимо головні напруження' ])

disp(['s1=',num2str(s1),'; s2=',num2str(s2),'; s3=',num2str(s3)])

Інваріанти

j1=300; j2=10000; j3=68000

Розвязуючи рівняння, знаходимо головні напруження

s1=262.954; s2=27.7155; s3=9.3305

Напрямні косинуси головних напрямків l₁, m₁, n₁ знаходимо із системи (1.7), яку запишемо у вигляді:

де .

Розв'язуємо систему рівнянь. Для цього спочатку записуємо матрицю системи та праву частину. Після знаходження із системи величин визначаємо напрямний косинус n₁ з рівняння .

Звідси . Після цього знаходимо .

Matr=[sx-s1,txy; txy, sy-s1];

Pr=[-txz; -tyz];

disp(['Матриця системи' ]); disp(Matr)

disp(['Права частина' ]); disp(Pr)

R1=Matr\Pr; L1=R1(1); M1=R1(2);

n1=1/sqrt(L1^2+M1^2+1); l1=n1*L1; m1=n1*M1;

disp('Розв''язавши систему, отримуємо розв''язок' )

disp(['L1=',num2str(L1),'; M1=',num2str(M1)])

disp('Напрямні косинуси першого головного напрямку')

disp(['l1=',num2str(l1),'; m1=',num2str(m1),'; n1=',num2str(n1)])

Матриця системи

-112.9540 -90.0000

-90.0000 -192.9540

Права частина

-60

Розв'язавши систему, отримуємо розв'язок

L1=-1.5215; M1=1.0206

Напрямні косинуси першого головного напрямку

l1=-0.72894; m1=0.48898; n1=0.47911

Напрямні косинуси другої головної вісі знаходимо на основі системи рівнянь:

де .

Після обчислень знаходимо

Matr=[sx-s2,txy; txy, sy-s2];

Pr=[-txz; -tyz];

R2=Matr\Pr; L2=R2(1); M2=R2(2);

n2=1/sqrt(L2^2+M2^2+1); l2=n2*L2;m2=n2*M2;

disp('Напрямні косинуси другого головного напрямку')

disp(['l2=',num2str(l2),'; m2=',num2str(m2),'; n2=',num2str(n2)])

Напрямні косинуси другого головного напрямку

l2=0.56675; m2=0.038511; n2=0.82299

Аналогічно знаходимо напрямні косинуси третьої головної вісі:

Matr=[sx-s3,txy; txy, sy-s3];

Pr=[-txz; -tyz];

R3=Matr\Pr; L3=R3(1); M3=R3(2);

n3=1/sqrt(L3^2+M3^2+1); l3=n3*L3;m3=n3*M3;

disp(' Напрямні косинуси третього головного напрямку')

disp([' l3=',num2str(l3),'; m3=',num2str(m3),'; n3=',num2str(n3)])

Напрямні косинуси третього головного напрямку

l3=-0.38398; m3=-0.87144; n3=0.3052

Інший (інтерактивний) варіант цієї програми.

cd('d:\Maxymovych\Nawchan\student\golow_napr')

golow_napr3

Задача 2. Задані напруження (МПа) (плоский напружений стан). Дослідити напруження на нахилених площинках в пластинці. З цією метою необхідно:

Побудувати графіки нормальних і дотичних напружень на нахилених площинках залежно від кута нахилу .
Визначити із графіків кути, при яких нормальні або дотичні складові є максимальними та значення відповідних напружень.
Знайти головні напруження та напрямки головних площинок. Зіставити їх з результатами розрахунків з п. 2.

Наведемо програму для розв'язування задачі (розв’язок цієї задачі наведено в п. 1.1). Для роботи програми необхідно нижче задати (відкорегувати) напруження. Далі курсор розмістити в тексті програми в довільному місці і в меню Notebоok вибрати команду "Evaluate Cell".

% Задати напруження:

sx=100; sy=-50; txy=150;

% Побудова таблиці значень функцій (1.8) з кроком h.

h=pi/100; alfa=0:h:2*pi;

co=cos(alfa); si=sin(alfa); co2=cos(2*alfa);

sn=sx*co.^2+sy*si.^2+2*txy*co.*si; % Формула (1)

tn=(sx-sy)*co.*si-txy*co2;

figure; plot(alfa,sn,alfa,tn,'linewi',4); grid on

xlabel('\alpha'); ylabel('\sigma_n');

legend('\sigma_n',' \tau_n')

[maxs,ns]=max(sn); xns=alfa(ns);

[mins,n1s]=min(sn); xn1s=alfa(n1s);

[maxt,nt]=max(tn); xnt=alfa(nt);

% Головні напруження

kor=sqrt(((sx-sy)/2)^2+txy^2);

s1=(sx+sy)/2+kor; s2=(sx+sy)/2-kor; alf=0.5*atan(2*txy/(sx-sy));

title(['Головні напруження:', ' S1=',num2str(s1),' ','S2=',num2str(s2) ,' ',' Кут:',' \alpha=',num2str(alf)])

disp('Результати розрахунків:');