Розкриваючи визначник, маємо, що головні напруження визначаються як корені кубічного рівняння:

, (1.6)

де – інваріанти тензора напружень, які знаходяться за формулами

.

Рівняння (1.6) має три дійсні корені . Будемо вибирати ці корені так, щоби

Знаходження головних осей. Використовуючи рівняння (1.5), отримуємо, що відношення напрямних косинусів головної вісі, що відповідає головному напруженню знаходяться із системи рівнянь

(1.7)

де .

На основі знайдених із цієї системи значень спочатку визначаємо напрямний косинус і після цього знаходимо .

Аналогічно знаходимо напрямні косинуси для інших головних площинок.

де – кут між нормаллю до площинки і віссю Ох.

Для випадку плоского напруженого стану головні напруження знаходять­ся за формулами

.

Напрямки головних площинок визначаються з рівняння

.

Зауваження. Розв’язування розглянутої задачі може бути здійснене і більш простим шляхом. Для цього достатньо використати те, що задача знаходження головних напружень і напрямків головних осей в математичному відношенні збігається із відомою задачею визначення власних значень та векторів матриці S. Для розв’язування такої задачі в сучасних математичних комп’ютерних системах розроблено стандартні процедури, для використання яких достатньо задати тільки елементи матриці (в нашому випадку компоненти тензора напружень).

Рівняння рівноваги. Запишемо умови рівноваги паралелепіпеда, зображеного на рис. 1.5.

Рис.1.5. До виводу рівнянь рівноваги

В результаті отримуємо рівняння (рівноваги), яким задовольняють компоненти тензора напружень [1]

(1.7)

. Тут (X, Y, Z) – вектор масових сил.

§ 1.2. Теорія деформацій

В процесі навантаження тіло змінює свою форму. Нехай деяка точка А пружного тіла (рис.1.6) до де­формування після деформування виявилась у точці . Позначимо координати цих точок через А(х, у, z) і . Вектор з компонентами називають вектором переміщень.

Рис.1.6. Переміщення точки

Переміщення і їх проекції для різних точок тіла є різні. Вони є неперервними функціями координат точки (якщо ці функції мали б розривними, то тіло ставало би несуцільним).

Відносні деформації стрижня. Розглянемо спочатку стрижень, який знаходиться в умовах розтягу. Виберемо в ньому перед деформуванням відрізок АВ довжиною h. Позначимо координати його кінців через x і x+h. Після деформування кінці відрізка змістяться в точки . Зміщення довільної точки з координатою х позначимо через u(x). Тоді зміщені точки будуть мати координати .

Рис. 1.7. Деформації стрижня

Тобто, здеформований відрізок буде мати довжину . Відносна деформація відрізка буде . Розглядаємо далі випадок, коли довжина відрізку прямує до нуля. Тоді знаходимо відносну деформацію стрижня в довільній точці через переміщення за формулою

, . (1.8)

Відносні деформації елементарного паралелепіпеда із ребрами, паралельними координатним осям. Розглянемо ребра паралелепіпеда (рис.1.8). Ребра розглядаємо як стрижні. Для відносної деформації ребра, що паралельне осі Ох, на основі формули (1.8) маємо . Тут у формулі (1.8) звичайна похідна замінена на часткову, оскільки для тіла переміщення залежать від координат x, y, z. Аналогічно знаходимо деформації ребер, які паралельні координатним осям Oy і Oz: .

Рис.1.8. Деформації тіла

Введемо також деформації , які визначають зміну кутів між ребрами (рис.1.8). Деформації тіла визначаються за формулами (співвідношення Коші)

. (1.9)

Тут – лінійні деформації, які характеризують відносні видовження елементів тіла в напрямку осей Ox, Oy, Oz відповідно. Величини – кутові деформації, які характеризують зміну кута після навантаження між двома прямими, що паралельні координатним вісям, вказаних у індексах. Сукупність величин, які характеризують зміну форми тіла називають тензором деформацій

. (1.10)

Лінійні деформації в довільному напрямку з напрямними косинусами визначаються за формулою

. (1.11)

Головні деформації. Напрямки, вздовж яких елементарні паралелепіпеди до навантаження залишається паралелепіпедами і після навантаження називають головними осями тензора деформацій. Лінійні деформації в напрямку головних осей називають головними деформаціями (зсувні деформації відсутні).

Для знаходження головних напрямків і головних деформацій використовують наведені вище співвідношення для визначення головних осей тензора напружень та головних напружень, у яких необхідно замінити

Рівняння сумісності деформацій. При відомих переміщеннях деформації визначаються за формулами (1.9). Розглянемо обернену задачу. Нехай відомі шість компонент тензора деформацій. На основі них необхідно визначити 3 компоненти вектора переміщень. Очевидно, що при довільно заданих деформаціях переміщення знайти неможливо. Встановлено шість умов, які дозволяють розв'язати задачу. Наведемо ці умови, які носять назву умови сумісності деформацій

(1.12)

Умови (1.12) забезпечують суцільність і неперевність тіла після деформування.