43. Транспонирование и его свойства.

Замена строк матрица на столбцы, а столбцов на строки – называется транспонированием матрицы .

Св-ва:

(А^T)^T=A (AB)^T=B^TA^T (A+B)^T=A^T+B^T

(А^Т)^-1=(А^-1)^Т

44. Система линейных уравнений и её решение.

Будем рассматривать системы из p линейных алгебраических уравнений с nнеизвестными переменными (p может быть равно n) вида

 - неизвестные переменные,  - коэффициенты (некоторые действительные или комплексные числа),  - свободные члены (также действительные или комплексные числа).

Такую форму записи СЛАУ называют координатной.

В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид , где  - основная матрица системы,  - матрица-столбец неизвестных переменных,  - матрица-столбец свободных членов.

Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т, а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,

Решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных , обращающий все уравнения системы в тождества. Матричное уравнение  при данных значениях неизвестных переменных также обращается в тождество .

45. Метод Гаусса для решений совместной системы линейных уравнений.

46. Однородная, неоднородная, совместная, несовместная, определенная и неопределенная система. Матричная запись системы линейных уравнений.

Совместная система - имеет хотя бы 1 решение.

Несовместная система - не имеет решений.

Определенная - имеет единственное решение.

Неопределенная – имеет бесконечно много решений.

Однородная система - все свободные члены равны 0. Всегда совместна. Имеет только нулевое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы равен числу неизвестных. Имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг матрицы меньше числа неизвестных.

Решить систему - значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, то найти ее общее решение.

Эквивалентные(равносильные) системы - имеющие одно и то же общее решение, т.е. каждое решение 1 системы является решением другой, и наоборот.

Эквивалентные системы получаются при элементарных преобразованиях системы при условии, что они выполняются лишь над строками матрицы.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

Обозначим:

, , ,

A — матрица системы, B — правая часть, X — матрица-столбец неизвестных.

Тогда:

и рассмотренная система эквивалентна матричному уравнению A·X = B, в том смысле, что если числа  являются решением рассмотренной системы, то соответсвующая матрица-столбец X является решением матричного уравнения; и наоборот, если матрица-столбец X является решением матричного уравнения, то ее элементы  являются решением рассмотренной системы.

 

47. Теорема о решении однородной системы линейных уравнений.