38. Определитель 1-го, 2-го и третьего порядков. Правило Саррюса и «звёздочки».

Определителем матрицы называется некоторая математическая функция элементов квадратной матрицы, результатом которой является число. Обозначение:  — определитель 3- го порядка (т.к. матрица размера 3 на 3) матрицы А. Замечание: В этом, якобы простом, определении определителя ( звучит как тавтология) говориться, что с элементами матрицы нужно что то сделать ( умножить, сложить, разделить и т.д.) и получится значение определителя этой матрицы. Однако не сказано. Что же все-таки надо с ними сделать.

Вычисление определителей первого порядка. Матрица размера 1х1 это просто число. Определителем такой матрицы является само это число. Вычисление определителей второго порядка. Определитель второго порядка (матрицы размера 2 на 2) вычисляется по правилу:   Запомнить просто: произведение элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной.

Вычисление определителей третьего порядка. Определитель третьего порядка вычисляется по правилу: Запомнить порядок сомножителей, конечно же, очень трудно, если не знать визуального представления этого правила, которое называется правило треугольников:   Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":

39. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Определитель произвольного порядка.

40. Свойства определителя. Терема об определителе произведения квадратных матриц.

41. Обратная матрица. Теорема существования и единственности обратной матрицы.

Матрица В называется обратной матрицей для квадратной матрицы А , если АВ=ВА=Е.

Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений АВ или ВА было бы не определено).

Обратная матрица для матрицы обозначается . Таким образом, если существует, то.

Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть 

Если обратная матрица существует, то она единственна.

        Доказательство.     Пусть две матрицы В и С являются обратными для матрицы А. Тогда ВАС=(ВА)*С=ЕС=С и ВАС=В(АС)=ВЕ=В

Следовательно, В=С.

Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует!!!!!!!!!!!!!!

42. Минор матрицы. Базисный минор. Ранг матрицы. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

Рассмотрим матрицу А(mxn) и выберем в ней k строк и k столбцов (1<=k<=min(m,n)). Из элементов , расположенных на пересечении выбранных строк и столбцов, построим определитель, сохраняя тот же порядок располложения элементов что и в матрице. Полученный определитель k-го порядка М^k называется минором матрицы.

Рангом r(A) матрицы А называется наибольший из порядковее не равных нулю миноров. Ранг нулевой матрицы = 0

Сво-ва ранга матрицы:

1)Ранг матрицы не меняется при транспортировании.

2)Ранг матрицы не меняется при линейном преобразовании строк или столбцов

3)В линейном полагается, что умножается на ненулевое число.

4)Ранг матрицы не меняется при перемене местами строк или столбцов матрицы.

Базисный минор – неравный 0 минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Чтобы вычислить ранг произвольной матрицы и найти какой-нибудь ее базисный минор, удобно привести с помощью элементарных образований эту матрицу к трапецеидальному виду. Если в ходе преобразований возникла матрица, содержащая несколько равных строк, то надо оставить одну их них без изменения, обратив остальные строки в 0.