- •1.Прямоугольные (декартовы) координаты на прямой, плоскости и в пространстве. Косоугольные системы координат.
- •2. Расстояние между двумя точками прямой, плоскости и в пространстве.
- •3. Деление отрезка в заданном отношении.
- •4. Полярная система координат. Сферическая система координат.
- •5. Переход от декартовой к полярной системе координат и обратно.
- •6. Преобразование координат для прямоугольной системы координат методом сдвига и поворота.
- •7. Алгебраическая линия и её порядок. Теорема об инвариантности порядка.
- •16. Окружность. Общее и каноническое уравнения окружности.
- •17. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса и его свойства.
- •18. Парабола. Каноническое уравнение параболы и его свойства.
- •19. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы и его свойства.
- •20. Окружность, эллипс, гипербола и парабола как алгебраические линии второго порядка и как сечения конуса.
- •21. Геометрический вектор (длина вектора, нуль-вектор, равенство геометрических векторов, коллинеарность и компланарность). Координатные орты.
- •22. Линейные операции с геометрическими векторами. Координаты геометрического вектора и его запись с помощью знака суммы. Знак суммирования и его свойства.
- •23. Разложение произвольного вектора по ортам координатных осей на плоскости и в пространстве.
- •27. Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты. Длина вектора. Угол между векторами.
- •28. Общее уравнение прямой на плоскости в представлении геометрических векторов.
- •38. Определитель 1-го, 2-го и третьего порядков. Правило Саррюса и «звёздочки».
- •39. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Определитель произвольного порядка.
- •40. Свойства определителя. Терема об определителе произведения квадратных матриц.
- •41. Обратная матрица. Теорема существования и единственности обратной матрицы.
- •42. Минор матрицы. Базисный минор. Ранг матрицы. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •43. Транспонирование и его свойства.
- •44. Система линейных уравнений и её решение.
- •45. Метод Гаусса для решений совместной системы линейных уравнений.
- •46. Однородная, неоднородная, совместная, несовместная, определенная и неопределенная система. Матричная запись системы линейных уравнений.
- •47. Теорема о решении однородной системы линейных уравнений.
- •48. Теорема о числе решений совместной системы линейных уравнений.
- •49. Решение квадратной системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
- •50. Формулы Крамера.
- •51. Линейное (векторное) пространство. Линейное подпространство.
- •52. Пространство Rn и линейные операции в этом пространстве.
- •53. Система векторов. Линейно зависимые и независимые векторы.
- •54. Базис линейного пространства. Примеры.
- •55. Теорема о разложении вектора по базису.
- •56. Линейная оболочка векторов.
- •57. Векторное представление системы линейных уравнений.
- •58. Теорема Кронекера-Капелли.
- •59. Критерий линейной зависимости векторов в пространстве Rn.
- •60. Евклидовое пространство.
- •61. Нормируемое пространство.
- •62. Ортогональное дополнение и его свойства.
- •63. Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы. Характеристическое уравнение.
- •64. Линейная функция. Билинейная форма. Квадратичная форма.
- •65. Изотропный вектор и знакоопределённость квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Критерий знакоопределённости квадратичной формы.
- •66. Линейная балансовая модель. ( Модель Леонтьева)
- •67. Модель международной торговли.
- •68. Линейные операторы как отображения. Образ и ядро линейного оператора.
- •69. Взаимно однозначные отображения.
- •70. Произведение операторов. Обратный оператор.
- •71. Теорема о представлении оператора в виде матрицы.
- •72. Произведение линейных отображений.
48. Теорема о числе решений совместной системы линейных уравнений.
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.
Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений
Правило решения произвольной системы уравнений. Найти ранг основной и расширенной матриц,если они не равны,то система несовместна(нет решений). Найти какой-либо базисный минор порядка r. Взять r уравнений из коэффициентов которых составлен базисный минор(остальные отбросить). Коэффициенты которые входят в базисный минор-главные,записываются слева, остальные переносятся в правые части уравнений(свободные). Далее найти выражения главных неизвестных через свободные. Получается общее решение системы. Затем придавая свободным неизвестным произвольные значения получим соответствующие значения главных неизвестных(частные решения исходной системы).
Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность.
Исследовать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Ну и если решения есть, то указать сколько их.
Нам понадобятся сведения из темы "Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи". В частности, нужны такие понятия, как матрица системы и расширенная матрица системы, поскольку именно на них опирается формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Как обычно, матрицу системы будем обозначать буквой A, а расширенную матрицу системы – буквой A˜.
Теорема Кронекера-Капелли
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. rangA=rangA˜.
Напомню, что система называется совместной, если она имеет хоть одно решение. Теорема Кронекера-Капелли говорит вот о чём: если rangA=rangA˜, то решение есть; если rangA≠rangA˜, то данная СЛАУ не имеет решений (несовместна). Ответ на вопрос о количестве этих решений даёт следствие из теоремы Кронекера-Капелли. В формулировке следствия использована буква n, которая равна количеству переменных заданной СЛАУ.
Следствие из теоремы Кронекера-Капелли
-
Если rangA≠rangA˜, то СЛАУ несовместна (не имеет решений).
-
Если rangA=rangA˜<n, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
-
Если rangA=rangA˜=n, то СЛАУ является определённой (имеет ровно одно решение).
Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения нет, а если существуют – то сколько.
49. Решение квадратной системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка
Матрица А-1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А-1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.
Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:
Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.
Теорема условия существования обратной матрицы
Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.
Матрица А = (А1, А2,...Аn) называется невырожденной, если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы r. Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.
Алгоритм нахождения обратной матрицы
1)Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.
2)Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.
3)Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.
4)Записать обратную матрицу А-1, которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.