67. Модель международной торговли.
Процесс
взаимных закупок товаров анализируется
с использованием понятий собственного
числа и собственного вектора матрицы.
Будем полагать, что бюджеты n стран,
которые обозначим соответственно 
,
расходуются на покупку товаров.
Пусть 
доля
бюджета 
,
которую j–я
страна тратит на закупку товаров у i-й
страны. Введём матрицу коэффициентов 
:
.(1)
Тогда, если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне её (это можно трактовать как торговый бюджет), справедливо равенство
(2)
Матрица (1) со свойством (2), в силу которого сумма элементов её любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли. Для i-й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой
(3)
Условие
сбалансированной (бездефицитной)
торговли формулируется естественным
образом: для каждой страны её бюджет
должен быть не больше выручки от
торговли, а в силу условия (2) 
или
(4)
Таким образом, условия (4) принимают вид равенств:
. (5)
Введём вектор бюджетов x, каждая компонента которого характеризует бюджет соответствующей страны. Тогда систему уравнений можно записать в матричной форме:
(6)
Это
уравнение означает, что собственный
вектор структурной матрицы А,
отвечает её собственному значению 
,
состоит из бюджетов стран бездефицитной
международной торговли.
Перепишем
уравнение (6) в виде, позволяющем
определить 
:
.
68. Линейные операторы как отображения. Образ и ядро линейного оператора.
Лине́йным
отображе́нием векторного
пространства 
над полем K в
векторное пространство 
над
тем же полем K (лине́йным
опера́тором из 
в 
)
называется отображение
,
удовлетворяющее условию линейности
,
.
для
всех 
и 
.
Пусть X и Y —
линейные пространства над полем F.
Отображение 
называется
линейным оператором, если 
, 
:
Матрица линейного оператора
Пусть 
Пусть
п.п. 
Пусть
п.п. 
,
где 
Линейный
оператор 
называется
автоморфизмом (или гомоморфизмом).
Образ и ядро линейного оператора
Рассмотрим
линейный оператор A
действующий в конечномерном линейном
пространстве X.
Доказано, что образ 
линейного
оператора - линейное пространство.
Размерность образа линейного оператора
называется рангом оператора,
обозначается 
.
Ядром
линейного оператора называется
множество элементов из X,
образом которых является нулевой
элемент. Ядро оператора обозначают 
: 
.
Ядро линейного оператора -линейное
пространство; размерность ядра линейного
оператора называется дефектомоператора,
обозначается 
: 
.
Для линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве X, справедливы следующие утверждения:
сумма
ранга и дефекта оператора равно
размерности пространства, в котором
действует оператор: 
;
ранг оператора равен рангу его матрицы;
ядро оператора совпадает с множеством решений линейной однородной системы с матрицей A, размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;
столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.
Сформулированные утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора, заданного матрицей, используя язык матричных преобразований и общей теории линейных систем.