69. Взаимно однозначные отображения.

Пусть ^A: X_n → X_n — некоторый оператор (не обязательно линейный), D М X_n — область определения и E М X_n — область значений этого оператора.

Оператор ^A:X_n → X_n называется взаимно однозначным, если из равенства образов следует равенство прообразов:

"x1, x2 О D  ^Ax1 = ^Ax2  ЬЮ  x1 = x2.

Пусть теперь ^A:X_n → X_n — линейный оператор. Справедлива следующая

Теорема 1. Для того, чтобы линейный оператор ^A:X_n → X_n осуществлял взаимно однозначное отображение, необходимо и достаточно, чтобы Ker ^A = θ .

Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия".

Следствие. Для того, чтобы линейный оператор ^A:X_n → X_n осуществлял взаимно однозначное отображение, необходимо и достаточно, чтобы Rg ^A = n , где n — размерность пространства.

Рассмотрим оператор ^A: X_n → X_n (не обязательно линейный), осуществляющий взаимно однозначное отображение.

Оператор ^B: X_n → X_n называется обратным оператору ^A:D М X_n → X_n , если "x О D :   ^B(^Ax) = x , т.е.

^B°^A = ^E,

где ^E — тождественный оператор. Обозначая обратный оператор ^A ^{− 1} , получаем определение обратного оператора в виде

^A − 1°^A = ^E.

Теорема 2. Для того, чтобы оператор ^A: D М X_n → E М X_n имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы он осуществлял взаимно однозначное отображение.

70. Произведение операторов. Обратный оператор.

Произведением линейных операторов А и В из  называется оператор АВ, определяемый следующим образом: (А В)А(В для любого  из V. Произведение линейных операторов тоже будет линейным оператором.

Справедливы следующие свойства умножения линейных операторов:

1. a(АВ) = (aА )В.

2. (АВ)Е = А (ВЕ).

3. (А + В)Е = АЕ + ВЕ,  Е(А + В) = ЕА + ЕВ.

Умножение линейных операторов, вообще говоря, некоммутативно.

Легко увидеть, что для всякого линейного оператора А  А. При этом если А только при , то оператор называется невырожденным; если же найдется такой вектор , что А, то оператор А– вырожденный.

Линейный оператор В  из  называется обратным для оператора А из , если выполняется соотношение АВ = ВА = Е. Обратный оператор обычно обозначается как А^–1. Для того чтобы линейный оператор А из  имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы он был невырожденным.

Будем говорить, что линейный оператор А действует взаимно однозначно из V в V, если любым двум различным элементам  и  отвечают различные элементы А и А. Для того чтобы линейный оператор А  из  имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из V в V.

71. Теорема о представлении оператора в виде матрицы.

72. Произведение линейных отображений.