Геометрический вектор (длина вектора, нуль-вектор, равенство геометрических векторов, коллинеарность и компланарность). Координатные орты.

Вектор- называется всякая величина, обладающая направлением. Вектор, началом которого служит точка А, а концом точка- В, обозначается АВ.

Длина вектора, также называется модулем. Модуль это скалярная величина, обозначается двумя вертикальными чертами.

Нуль-вектор- это вектор длина которого равна 0.

Равенство векторов- два(ненулевых)вектора а и b равны, если они равнонаправленные и имеют один и тот же модуль. Все нулевые векторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны. Вектор можно переносить параллельно самому себе , а начало вектора помещать в любую точку О пространства. Равные векторы так же называют свободными.

Коллинеарные – векторы а иb называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают, а||b. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Компланарные- три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов, хотя бы один нулевой или два любые коллинеарные, то такие векторы компланарны.

Орт вектор- вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через ē. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора а, называется ортом вектора а и обозначается а°.

Линейные операции с геометрическими векторами. Координаты геометрического вектора и его запись с помощью знака суммы. Знак суммирования и его свойства.

Произведением вектора  на число называется вектор, получающийся из вектора  растяжением (при ) или сжатием (при ) в  раз, причём направление вектора  сохраняется, если , и меняется на противоположное, если . (Рис. 2)

Из определения следует, что векторы  и  =  всегда расположены на одной или на параллельных прямых. Такие векторы называютсяколлинеарными. (Можно говорить также, что эти векторы параллельны, однако в векторной алгебре принято говорить "коллинеарны".) Справедливо и обратное утверждение: если векторы  и  коллинеарны, то они связаны отношением

.    (1)

Следовательно, равенство (1) выражает условие коллинеарности двух векторов.

Суммой векторов  и  называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец - с концом вектора , при условии, что начало вектора  приложено к концу вектора . (Рис. 3)

Это определение может быть распределено на любое конечное число векторов. Пусть в пространстве даны n свободных векторов . Если к концу вектора приложить начало вектора , а к концу вектора  - начало вектора  и т.д. и, наконец, к концу вектора  - начало вектора , то суммой этих векторов служит замыкающий вектор , начало которого совпадает с началом первого вектора , а конец - с концом последнего вектора . (Рис. 4) Слагаемые  называются составляющими вектора , а сформулированное правило - правилом многоугольника. Этот многоугольник может и не быть плоским.

При умножении вектора  на число -1 получается противоположный вектор . Векторы  и  имеют одинаковые длины и противоположные направления. Их сумма  даёт нулевой вектор, длина которого равна нулю. Направление нулевого вектора не определено.

В векторной алгебре нет необходимости рассматривать отдельно операцию вычитания: вычесть из вектора  вектор  означает прибавить к вектору противоположный вектор , т.е. 

Разложение произвольного вектора по ортам координат­ных осей на плоскости и в пространстве.

Выделим на корд.осях единичные векторы: I,j,k. Выберем произв.вектор а пространства и совместим его начало с началом коорд: а=ОМ. Найдем проекции вектора а на коорд оси. Проведем через конец вектора ОМ плоскочти, параллельные координатным плоскостям. Точки пересеч этих плоскостей с осями обозначим через М1,М2,М3. Получим прямоуг парал-пед,одной из диагоналей которого является вектор ОМ. По опред суммы векторв находим: а=ОМ1+M1N+NM. А так как M1N=OM2, NM=OM3,то а=ОМ1+ОМ2+ОМ3. ОМ1=|ОМ1|i и тд. Обозначим проекции вектора на оси|ОМ1|=аy итд. В итоге получается: a=ax на i+ay на j+ az на k.

Действия с геометрическими векторами в координатной форме.

Пусть даны два вектора и , заданные своими проекциями:

или

или 

Укажем действия над этими векторами.

1.Сложение:

или, что то же

т.е. при сложении двух векторов одноимённые координаты складываются.

2.Вычитание:

или, что то же,

т.е. при вычитании двух векторов одноимённые координаты вычитаются.

3.Умножение вектора на число:

или, что то же

т.е. при умножении вектора на число все координаты умножаются на это число

Признак коллинеарности векторов.

Как мы уже отмечали, векторы называются коллинеарными, если они связаны отношением

.Пусть даны векторы . Эти векторы коллинеарны, если координаты векторов связаны отношением

,

то есть, координаты векторов пропорциональны.

Скалярное произведение геометрических векторов и его свойства.

Геометрическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:

a · b = |a| · |b| cos α

Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a иb.

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {a_x ; a_y} и b = {b_x ; b_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {a_x ; a_y ; a_z} и b = {b_x ; b_y ; b_z} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z

Формула скалярного произведения n -мерных векторов

В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a₁ ; a₂ ; ... ; a_n} и b = {b₁ ; b₂ ; ... ; b_n} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂ + ... + a_n · b_n

Свойства скалярного произведения векторов

Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:

a · a ≥ 0

Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

a · a = 0   <=>   a = 0

Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

a · a = |a|²

Операция скалярного умножения коммуникативна:

a · b = b · a

Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0   <=>   a ┴ b

(αa) · b = α(a · b)

Операция скалярного умножения дистрибутивна: