Совместная система - имеет хотя бы 1 решение.

Несовместная система - не имеет решений.

Совместная определенная - имеет единственное решение.

Совместная неопределенная - имеет больше 1 решения.

Решить систему - значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, то найти ее общее решение.

Эквивалентные(равносильные) системы - имеющие одно и то же общее решение, т.е. каждое решение 1 системы является решением другой, и наоборот.

Эквивалентные системы получаются при элементарных преобразованиях системы при условии, что они выполняются лишь над строками матрицы.

Однородная система - все свободные члены равны 0. Всегда совместна.

Тривиальное (нулевое решение системы) - решение системы вида х₁=х₂=...=х_n=0.

Метод Гаусса для решений совместной системы линейных уравнений.

Пусть дана система уравнений:

1)a11x1+a12x2+….a1nXn=b1

a21x1+a22x2+….a2nXn=b2

……………………………

am1X1+am2X2+…..amnXn=bn

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе(прямой ход) система приводится к ступенчатому(в частности, треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид:

a11x1+a12x2+….+a1kXk+….a1nXn=b1

a22x2+….+a2kxk+…. a2nXn=b2

………………………

akkXk+….aknXn=bk

Прямой ход.

Будем считать, что элемент а11 не равен 0( если а11=0, то первым в системе запишем уравнение, котором коэффициент при x1отличен от нуля)

Преобразуем систему, исключив неизвестное х1 во всех уравнениях, кроме первого( используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части уравнение на –а21/а11 и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на –а31/а11 и сложим с третьим уравнением системы. Продолжаем этот процесс, получим эквивалентную систему :

2)a11x1+a12x2+….a1nXn=b1

a22x2+….a2nXn=b2

……………………………

am2X2+…..amnXn=bm

Аналогичным образом, считая главным элементом а22 не =0, исключим неизвестное х2 из всех уравнений системы, кроме первого и второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно.

Если в процессе приведения системы(номер 1) к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения,т.е равенства вида 0=0, их отбрасывают.

Обратный ход.

Заключается в решении ступенчатой системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений. В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное Xk через остальные неизвестные (Хк+1,…..Xn). Затем подставляем значение Xk в предпоследнее уравнение системы и выражаем Xk-1 через (Xk+1,….Xn); затем находим Xk-2,……х1. Придавая свободным неизвестным (Xk+1,….Xn) произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.

Замечания:

1)Если ступенчатая система оказывается треугольной, т.е k=n, то исходная система имеет единственное решение.

2) На практике удобнее работать не с системой 1, а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками.

Однородная, неоднородная, совместная, несовместная, определенная и неопределенная система. Матричная запись системы линейных уравнений.

Различные формы записи системы линейных уравнений.:

Совместная система - имеет хотя бы 1 решение.

Несовместная система - не имеет решений.

Совместная определенная - имеет единственное решение.

Совместная неопределенная - имеет больше 1 решения.

Решить систему - значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, то найти ее общее решение.

Эквивалентные(равносильные) системы - имеющие одно и то же общее решение, т.е. каждое решение 1 системы является решением другой, и наоборот.

Эквивалентные системы получаются при элементарных преобразованиях системы при условии, что они выполняются лишь над строками матрицы.

Однородная система - все свободные члены равны 0. Всегда совместна.

Тривиальное (нулевое решение системы) - решение системы вида х₁=х₂=...=х_n=0.

Теорема о решении однородной системы линейных уравнений.

Теорема о числе решений совместной системы линейных уравнений.??????????

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений

Правило решения произвольной системы уравнений. Найти ранг основной и расширенной матриц,если они не равны,то система несовместна(нет решений). Найти какой-либо базисный минор порядка r. Взять r уравнений из коэффициентов которых составлен базисный минор(остальные отбросить). Коэффициенты которые входят в базисный минор-главные,записываются слева, остальные переносятся в правые части уравнений(свободные). Далее найти выражения главных неизвестных через свободные. Получается общее решение системы. Затем придавая свободным неизвестным произвольные значения получим соответствующие значения главных неизвестных(частные решения исходной системы).

Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность.

Исследовать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Ну и если решения есть, то указать сколько их.

Нам понадобятся сведения из темы "Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи". В частности, нужны такие понятия, как матрица системы и расширенная матрица системы, поскольку именно на них опирается формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Как обычно, матрицу системы будем обозначать буквой A, а расширенную матрицу системы – буквой A˜.

Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. rangA=rangA˜.

Напомню, что система называется совместной, если она имеет хоть одно решение. Теорема Кронекера-Капелли говорит вот о чём: если rangA=rangA˜, то решение есть; если rangA≠rangA˜, то данная СЛАУ не имеет решений (несовместна). Ответ на вопрос о количестве этих решений даёт следствие из теоремы Кронекера-Капелли. В формулировке следствия использована буква n, которая равна количеству переменных заданной СЛАУ.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

Если rangA≠rangA˜, то СЛАУ несовместна (не имеет решений).

Если rangA=rangA˜<n, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).

Если rangA=rangA˜=n, то СЛАУ является определённой (имеет ровно одно решение).