2 свойства:

1 х,у- п-мер.в-ры(х,уЕL)х=(х1,…,хп),у=(у1,…уп)1.х+у=(х1+у1,…хп+уп)

2.кх=(кх1,…,кхп)кЕR В произвольном лин. про-ве сущ-т единств.нулев.эл-т и для каждого эл-та сущ.

Единтс-ный ему противопол.

Док-во. Сущ-ние нул. и противопол. эл-ов утверждается в сво-вах А5 и А6. Предположим, что сущ-ет 2 нуля O1 и О2. Тогда по св-ву А5: O1 + О2 = O1, а по А1

И А5: O1+02=О2+O1=О2. След-но O1=02,т.е.имеется только один нул. эл-т. Теперь пусть сущ-т 2 эл-та у1 и у2 обратных х. Тогда по А5,А2 и A1: y1=у1+0 = у1+ (х+у 2) =

(у1+х)+у2=(х+y1)+у2=0+У2=У2+0=У2 ч.т.д.

В лин. про-ве нулевой эл-т = 0*х, а эл-т противоп. х = (-1)*х, где 0,-1 – вещест.числа.

Док-во. ]ẍ – противоп. эл-т для х, кот-й есть по св-ву А6. Тогда 0*х = 0*х+0=0*х+х+ẍ=(0+1)х+ẍ=х+ẍ=0.Наконец,х+(-1)*х=(-1+1)х=0*х=0.

Сл-но, 0*-х нул.эл-т лин.про-ва, а(-1)*х-противоп. эл-т этого пр-ва.

Размерностью пр-ва наз.число-вектор в базисе этого пр-ва.

Лин.Подпр-во.

Подпр-вом наз.часть пр-ва,эл-ты к-рого удовл.2 св-вам.

1.суммы эл-тов подпр-ва принадлжеит подпр-ву.

2.эл-т подпр-ва умноженное на число также явл.эл-том подпр-ва.

Если подпр-во лин.,то для его эл-тов также выполнены восемь св-в лин.пр-ва.

Если пр-во лин.,то и всякое его подпр-во лин. Каждое пр-во содержит тривиальное подпр-во.

Теорема Всякое нетривиальное конечномерное лин. подпр-во явл.лин.оболочкой своего базиса.т.е. L(Sn)=L,Sn‑базис.

Док-во. если Sn - базис в L, то по определению лин.оболочки, с одной стороны, L (S n) принадлежит L , с другой - по определению базиса L принад. L(S n)- Следовательно L (S n) = L.

Заметим, что, т.к. всякий вектор лин. пр-ва расскладывается по базису в виде лин. комбинации, то лин. пр-во само явл. лин. оболочкой в-ров своего базиса I

справедливо.

Т.если система в-ров л.н.з.,то она образует базис подпр-ва, построенного на этих в-рамках.

Т.сумма подпр-в явл.также подпр-вом.

] х,у принад. L=L`+L’’x+y=x’+x’’+y’+y’’=x’+y’+x’’+y’’=L’+L’’.

Теорема .пересечение лин.подпр-в также явл под-вом.

Если пересечение подпространств L’ и L " -- нул под-во,то сумма таких подпр-ств наз. прямой суммой.

Теорема .Если подпр-во образованно прямой суммой,то всякий эл-т из этой суммы можно разложить единств.способом.

Теорема. Размерность суммы 2х подпр-ств= сумме размерностей подпр-ств минус размерность их пересечения.

Теорема . Размерность прямой суммы подпр-ств =сумме размерностей этих подпр-ств.

Пространство Rⁿ и линейные операции в этом пространстве.

Система векторов. Линейно зависимые и независимые векторы.

Любое конечное множество в-ров наз. системой в-ров(S).

Лин. комбинацией системы векторов или просто векторов а1 , а2,а3…аn, наз. сумма вида

λ1a1 + λ2а2 + ... + λ_nаn(λ произвольные числа).

Лин. комбинация наз. тривиальной, если все λ1,λ2,…, λ_n=нулю.

В ином случае лин. комбинация наз. нетривиальной.

Линейные пространства

Сис. В-ров наз. л. н. если не сущ. нетривиальной лин.комбинации в-ров этой системы,= нул. эл-ту, в противном случае говорят, что система л.з. Лин.зав.систему можно представить в виде лин.комбинации др.нетривиальных комбинаций этих векторов.

Системы векторов обладают рядом важных свойств.

Система из более, чем одного вектора линейно-зависима , когда хотя бы 1 из в-ров есть лин.комбинация остальных.

Если в сис.входит нул.в-р ,то она л.з.

Если некот.из в-ров входящих в сис.образует л.з.подсистему,то вся сис. л.з.