Специальные перспективные проекции. Проекция на плоскость.

Геометрическая схема построения центральной проекции на плоскоcть где N - нейтральная плоскость, К - картинная плоскость, z - главный луч зрения, s - точка зрения (точка проекции).

z'пр = zпр + F x' = xF/z'пр y' = yF/y'пр

Проекция на сферу (рыбий глаз).

В отличие от классической перспективы здесь лучше каждую часть изображения рассматривать перпендикулярно к ней, т.е. при просмотре различных частей проекции голова наблюдающего или рисунок перемещаются. Такое рассматривание можно назвать фрагментарным.

z'_пр = z_пр * F x' = x_пр c y' = y_пр c

где луч, выходящий из точки М - это луч проецирования на сферу, S - это центр проекции, а луч, входящий в точку М' - это луч перепроецирования со сферы на плоскость.

Проекция на цилиндрическую поверхность.

Проекция на цилиндрическую поверхность позволяет показывать объекты с очень большими углами зрения по горизонтали, вплоть до круговой панорамы. Вычерчиваются проекции в виде разверток на обычных графических устройствах. s - центр проекции (точка зрения), z - главная ось.

5. Масштабирование в окне. Масштабирование.

• Задать или определить:x_min, y_min, x_max, y_max - координаты размера изображени

X_min, Y_min, X_max, Y_max - координаты области вывода

• Коэффициенты масштабирования:

f_x = (X_max - X_min) / (x_max - x_min)

f_y = (Y_max-Y_min) / (y_max - y_min)

f_x = f_y = min (f_x, f_y)

• Вычисление текущих координат экрана:

x_э = X_min + f_x (x_p - x_min)

y_э = Y_min+ f_y (y_p - y_min)

x_э – экранные; x_p – реальные

Также вы можете почитать об аддитивном(морфинге) и мультипликативном влиянии. И о том как проектировать движущиеся объекты.

6. Нахождение параметров плоскости. Нахождение плоскости по точкам.

Пусть уравнение ax + by + cz + d = 0 описывает плоскость, здесь одна переменная свободна и положим её равной 1: d = 1.

Тогда три точки в пространстве будут определять плоскость:

По решению этой системы можно определить плоскость.

Пример.

a = -1; b = - 1; c = - 1

Подставляя любую точку, определим d: - x - y - z + 1 = 0 или x + y + z - 1 = 0

Метод определения плоскости по нормали.

Можно провести вектор нормали к плоскости и с помощью него определить её в пространстве.

d = - (ax₄ + by₄ + cz₄) = =- (1 1 + 1 (-1) + 1 1) = -1 следовательно x +y + z - 1 = 0

Метод Ньюэла.

Этот метод эквивалентен определению нормали в каждой вершине многоугольника посредством векторного произведения прилежащих ребер и усреднения результатов. Если а, b, с, d - коэффициенты уравнения плоскости, то (здесь n - число вершин многоугольника):

a =		(yi - yj)(zi + zj)	;j =		1 , i = n i + 1 , i n
b =		(zi - zj)(xi + xj)
c =		(xi - xj)(yi + yj)

d = - (ax_n + by_n + cz_n )

Между точками находим среднюю плоскость, проходящую через все точки.

Находим коэффициенты по рисунку из примера 1: a=(y₁-y₂)(z₁+z₂) + (y₂-y₃)(z₂+z₃)+ (y₃-y₄)(z₃+z₄) + (y₄-y₁)(z₄+z₁)= (0-1)(0+0)+(1-0)(0+1)+(0-(-1))(1+1)+(-1-0)(1+0)=2 b=...=2 c=...=2 d=-(2x₄+2y₄+2z₄)=-(2-2+2)=-2 следовательно получаем плоскость x+y+z-1=0 Тоже будет, если вычислим нормали в каждой вершине (4 вершины) через смежные её рёбра и усредним соответствующие коэффициенты.

Контрольные вопросы:

1. Какие преобразования можно провести в двумерном и трехмерном пространстве?

2. Какие математические действия необходимо провести, чтобы повернуть объект на 90º, уменьшив его при этом в 2 раза.

3. Что такое параметрическое число геометрического образа?

4. Назовите основные геометрические свойства двумерных и трехмерных преобразований.

5. Что такое центр проецирования? Какой луч называется главным?

6. Какие эффекты применяют при создании трехмерных изображений?

7. Опишите методы нахождения нормали к плоскости?

Лекция 2. (4 часа).

Технические основы компьютерной графики.

План:

1. Организация ресурсов памяти в компьютерной графике.

2. Организация временных ресурсов в компьютерной графике.

3. Аппаратные решения в компьютерной графике.

4. Физические принципы графических компьютерных устройств.