1. Преобразования в 2d пространстве.

Преобразования используются в разных целях: чтобы различные части объекта можно было описывать в различных координатных системах; чтобы типовые и повторяющиеся части объекта можно было располагать в разных положениях на чертеже и в пространстве, в том числе с использованием циклов; чтобы без повторной кодировки можно было получать симметричные части объекта; для направленной деформации фигур, тел и их частей; для изменения масштаба чертежа, построения проекций пространственных образов и др. С аналитической точки зрения, преобразования - это пересчет значений координат. Двухмерные и трехмерные преобразования отличаются по типам.

Преобразование точки.

Точка на плоскости представляется двумя координатами: |x y|.

Её простейшее преобразование

 - это преобразование точки в квадратичную матрицу, где x_n= xa+yc; y_n= xb+yd.

Преобразование фигуры.

Если представить фигуру как совокупность точек, то можно провести и её преобразование.

S^*=S_н det =S_н |ad-bc| - площадь

новой фигуры равна площади старой фигуры, умноженной на det соответсвующей матрицы.

пересчёт новых координат фигуры:

Однородные координаты. Операции в них.

Проще говоря, любая система координат, в которой представление точки в двухмерном (трехмерном) пространстве дается при помощи трех (четырех) координат (Р₁ Р₂Р₃Р₄), называется системой однородных координат. Для n-мерного пространства число однородных координат должно быть n+1. Теперь сложные преобразования можно представить, используя произведения матриц. Применение однородных координат в общем случае дает возможность избегать аномалий, возникающих при работе с декартовыми координатами.

Операция cмещения.

В представление точки введена дополнительная координата, в результате третья компонента не изменилась. Константа переноса не зависит от системы координат, от х или у.

Приведение из неоднородных координат в однородные называется масштабное центральное изменение.

В случае выхода рисунка за сечение н=1 рисунок возвращается принудительно в данное сечение, чтобы были возможны следующие операции:

- нормализация однородных координат.

Иллюстрация в 3D:

Общий вид преобразования.

Операция масштабирования.

Общее полное масштабирование.

s1 уменьшение.

Вращение

А теперь вот вам первое маленькое задание. Попробуйте повернуть треугольник на угол =90^o. Координаты точек можете взять любые.

Отображение или зеркалирование.

• Зеркалирование относительно y = x

• Зеркалирование относительно y = 0

• Зеркалирование относительно x = 0

• Зеркалирование относительно центра координат y (0,0)

Вращение фигуры вокруг произвольной точки (m,n) на произвольный угол.

Чтобы провести любое сложное преобразование, необходимо разложить его на базовые опреации.

Примечание: порядок действий существенно определяет их результат.

Центральное проецирование (перспектива).

H - плоскость: px + qy - H + 1 = 0

Нахождение точки пересечения (2 линии x + y = 1, 2x - 3y = 0).

2. Преобразования в 3D пространстве.

Смещение.

Не забывайте, что все операции проходят в однородных координатах. Отличие преобразований в 3D от 2D в том, что добавлена третья координата по оси 0z.

Масштабирование.

Общее полное масштабирование.

Вращение вокруг осей x,y,z на угол.

где a=sin ; b=cos

Вращение тела вокруг точки (m,n,k) на угол

• Перемещение в начало координат;

• Вращение;

• Перемещение обратно;

V=SRS^-1

Зеркалирование.

Вращение тела вокруг произвольной оси проходящей через точку (0,0,0) на угол.

Это не базовая операция. Ее можно получить из выше названных операций и поэтому запоминать её совсем не нужно.

-угол наклона относительно ОХ.

- угол наклона относительно ОY.

  - угол наклона относительно ОZ.

n₁ = cos n₂ = cos n₃ = cos

3. Афинное проецирование.

Наиболее распространены двухмерные и трехмерные преобразования. Их основные геометрические свойства: прямые линии после преобразования остаются прямыми, параллельные - параллельными, плоскости остаются плоскостями и параллельные плоскости - параллельными. Вычерчивание трехмерных объектов, независимо от того на бумаге ли это происходит или на экране дисплея, осуществляется при помощи двухмерных проекций. В плоской проекции каждая точка предмета проецируется определенным образом на плоскость проекции, и её образ называется точкой проекции. Если линии проекции, соединяющие точки предмета с соответсвующими точками проекции, параллельны, то мы имеем плоскую параллельную проекцию. Если же линии проекции сходятся в одной общей точке, то получаемое изображение называется центральной проекцией, или перспективным изображением предмета.

Процесс проецирования эквивалентен сдвигу плоскости проекции и предмета до тех пор, пока плоскость проекции не пройдет через начало координат. Чтобы восстановить точку объекта, необходимо выполнить обратные преобразования.

Аксонометрическая ортографическая проекция.

Смещает изображение по оси z на n единиц и проецирование происходит в плоскости z=0.

Аксонометрическая ортогональнальная проекция.

Проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости изображения, и плоскость проекции совпадает с одной из координатных плоскостей.

Пример: Вращаем относительно оси Х на 90^o Проецирование в плоскости z = 0

Диметрическая проекция.

В этом случае были специально подобраны коэффициенты, дающие минимальные искажения какого-либо изображения. Запоминать их не требуется.