Информационные технологии в экономике - Симионов Ю.Ф

Информационные технологии в экономике

10.1..2. Нахождение экстремального значенияфункции

В предыдущем параграфе было показано, как можно получить аналитическую зависимость, имея табличные данные. Аналитический вид функции существенно расширяет возможности для анализа экономических зависимостей, в частности, позволяет находить экстремальные значения функций.

Большинство практических задач так или иначе связаны с поиском минимума или максимума некоторой функции. Например, требуется найти минимум затрат или максимум прибыли в зависимости от одного или нескольких параметров. Такие задачи сводятся к решению уравнений вида:

f(x)=0

Нахождение корней таких уравнений, как правило, представляет достаточно сложную задачу. Часто результат может быть получен только численными методами, которые дают приближенные решения.

В MS Excel для решения таких уравнений используется удобный инструмент Подбор параметра, который реализует алгоритм численного решения уравнения, зависящего от одной переменной.1 Приведем примеры использования процедуры.

"•Ф Пример 1. .

Пусть требуется определить оптимальный срок эксплуатации оборудования, если известны постоянные (а) и переменные (Ь) издержки на обслуживание оборудования, параметр изменения издержек во времени (п) и первоначальная стоимость оборудования (А). В зависимости от срока эксплуатации (t) издержки (Е) можно приближенно

1 Следует заметить, что с помощью процедуры Подбор параметра могут быть решены только некоторые типы уравнений, так как алгоритм решения не всегда сходится.

292

Информационные технологии в экономике

вая в ячейке А2 другое начальное значение, например 2. Получаем значение второго корня уравнения t2=1.286.1

6. В ячейках С1 и С2 получим максимальное и минимальное значения уровня соответственно.

Упражнения

1.Сезонная динамика спроса на товар описывается зависимостью:

t'

где t — номер месяца.

Определить, в каком месяце следует ожидать минимальный и максимальный спрос на товар и величину спроса.

2.Капитальные вложения в строительство дорожных конструкций в сейсмически опасных районах зависят от того, насколько необходимо усилить конструкцию с учетомвозможных сейсмических воздействий. Частотный спектр отклика грунта на сейсмическое воздействие у есть функция от круговой частоты колебаний го амплитуды а и двух параметров грунтов аир:

у = awae~^

Найти максимальное значение частотного спектра вдиапазоне roe (0.1, 2) при значениях а = 1, ос=3, Р=—4

1 В задачах с ограничениями на целочисленность переменных следует округлять результат решения.

296

Глава 10. Задачи оптимизации в экономических исследованиях

10.2.Моделилинейной оптимизации в MS Excel

10.2.1 Исследование операций

В самых разных областях экономической деятельности человеку приходится принимать различные решения. Иногда выбор правильных решений можно осуществить на основе практического опыта, интуиции, то есть эвристическими методами. Но чем сложнее и масштабнее планируемое мероприятие, тем менее допустимы «волевые» решения и тем важнее становятся специальные научные методы, позволяющие количественно оценить последствия каждого решения, исключить недопустимыеварианты и рекомендовать наилучшие из возможных решений.

Разработкой количественных моделей и общих методов, которые применяются для научного обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности, занимается специальный раздел прикладной математики — «Исследованиеопераций» (английское название - Operations Research).

В экономике наиболее характерными ситуациями принятия решений в условиях полной определенности, для анализа которых используются методы исследования операций, являются такие как:

•организация процессов производства товаров и услуг;

•организация и планирование систем массовогообслуживания;

•организация транспортных перевозок;

•управление производством иоптовыми складами; •управление проектами;

•выбор инвестиционных проектов;

• составление расписания работ.

Это далеко не полный список возможных приложений в экономике методов исследования операций.

297

Информационные технологии в экономике

Сформулируем общую постановку задач исследования операций:

Из ряда возможных вариантов найти решение проблемной ® ситуации, которое является наилучшим с точки зрения некоторого критерия (или системы критериев),учитывая при

этом ограничения на выполняемые действия (операции).

Для решения таких задач в исследовании операций используются методы из следующих основных разделов.

•Линейное инелинейное программирование.

•Динамическое программирование.

•Марковские случайные процессы.

•Теория массового обслуживания.

ШСтатистическое моделирование случайных процессов.

•Игровые методы обоснования решений.

В настоящий момент в связи с бурным внедрением методов исследования операций в практику интенсивно разрабатываются программные продукты, предназначенные для численного решения задач исследования операций. К ним относятся специальные модули пакетов MS Excel и MS Project. В данном параграфе мы рассмотрим некоторые модели математического программирования, которые могут быть исследованы средствами MS Excel.

10.2.2. Задачи линейного программирования

Очень часто математическая постановка экономических задач, связанных с управлением, может быть сформулирована в общем виде следующим образом.

Пусть имеет некоторая целевая функция z, которая зависит от параметров x=(xt, x2,..., хп), удовлетворяющих некоторым ограничениям а

z = z(x,a).

Требуется найти такие значения параметров или функций х=(хг х2 хп), которые обращают величину z в максимум или минимум (то есть доставляют функции г экстремум).

Такие задачи —отыскание значений параметров, обес-

298

Глава 10. Задачи оптимизации в экономических исследованиях

печивающих экстремум функции при наличии ограничений, наложенных на аргументы, носят общее название задач математического программирования и решаются методами теории исследования операций.

Среди задач математического программирования самыми простыми являются задачи линейного программирования (ЗЛП). При этом оптимизируемая целевая функция z =z(.v,oc) линейно зависит от х=(хг х2 хп) и, кроме того, ограничения, накладываемые на х, имеют вид линейных равенств или неравенств.

Замечание. В задачах нелинейного программирования целевая функция и ограничения содержат нелинейные выражения. Но в данном разделе такие задачи не будут рассматриваться, поскольку очень многие практические задачи такого типа могут быть сведены к задачам линейного программирования, для которых разработано достаточное количество эффективных алгоритмов решений.

• Основная задача линейного программирования (ОЗЛП) заключается в нахождении неотрицательных значений п переменных хр х2,..., хп удовлетворяющих т условиям-ра- венствам:

4l*l +«22*2+- + «2„*П =Ь2

(ЮЛ)

«„,.*! + «,„2*2 +" + «m,,*,,=V

и обращающие в максимум линейную функцию (целевую функцию) этих переменных:

Допустимым решением (планом) ОЗЛП является упорядоченное множество значений хг х2,..., хп, удовлетворяющее ограничениям (10.1) и (10.3).

299