Информационные технологии в экономике - Симионов Ю.Ф

Информационные технологии в экономике

дения управляемой системы, могут использоваться различные стратегии. Они различаются, прежде всего, большей или меньшей оптимистичностью ожиданий. Как правило, нельзя ориентироваться на крайние случаи — пессимистичный и оптимистичный, - нов некоторых случаях такой подход является единственно разумным.

В частности, обычно рассматриваются следующие критерии принятия решения в условиях неопределенности.

• Критерий Лапласа, согласно которому все возможные варианты развития событий равновероятны. Этот критерий достаточно оптимистичен и не может использоваться в обстановке жесткого противодействия конкурентов на рынке.

Ш Минимаксный (максиминный) критерий. Исходит из поиска наилучшего решения при самом неблагоприятном стечении обстоятельств. Этот критерий является пессимистичным и применяется в условиях жесткого противодействия соперников.

• Критерий Гурвица. Представляет собой линейную комбинацию самого оптимистичного и самого пессимистичного ожиданий. В критерий входит параметр оптимистичности, изменяющийся в интервале от О до 1, который и задает степень оптимистичности ожиданий. Чем меньше этот параметр, тем выше риск при принятии решения.

Диалог «Анализ риска » также используется для решения обратных задач - по заданным результатам (доход, прибыль, рентабельность) определить значения начальных параметров. В частности, решаются задачи поиска цен покрытия издержек для группы товаров. Однако цены покрытия издержек компании — это лишь один из критериев, которые могут быть применены для поиска оптимальных цен.

280

Глава 10 ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ

ВЭКОНОМИЧЕСКИХ

ИССЛЕДОВАНИЯХ

10.1.Анализ экономических зависимостей

В практике экономических исследований не всегда удается воспользоваться аналитическими зависимостями для анализа данных. Как правило, экономические данные представляются в табличном виде. Поэтому одной из наиболее распространенных задач является задача аналитического описания экспериментальных зависимостей, при решении которой используются процедуры оптимизации.

10.1.1. Аппроксимация экспериментальныхданных

Аппроксимацией называется подбор аналитической формулы у = f ( x ) для установленной из опыта функциональной зависимости у =cp(.x).

Аппроксимируемая функция у может зависеть от одной или от нескольких переменных. Рассмотрим оба случая.

Одна независимая переменная. В простейшем случае задача аппроксимации для функции одной переменной выглядит следующим образом.

Пусть имеются данные, полученные в ходе эксперимента или наблюдений, которые можно представить в виде таблицы значений (х, у).

282

Глава 10. Задачи оптимизации в экономических исследованиях

На основе этих данных требуется подобрать такую функцию у = f(x), которая с точки зрения некоторого критерия оптимальности наилучшим образом описывала бы экспериментальную зависимость.

Обычно задача аппроксимации распадается на две части. Сначала устанавливают вид зависимости у = f(x) и, соответственно, вид эмпирической формулы, то есть решают, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой. После этого определяются численные значения неизвестных параметров выбранной эмпирической формулы, для которых приближение к заданной функции оказывается наилучшим.

Для сглаживания экспериментальных зависимостей у, =ф(х, ), заданных таблично, в MS Excel используются различные функции у = f(x).

т Линейная.

•Полиномиальная.

•Логарифмическая.

•Степенная.

•Экспоненциальная.

Параметры аппроксимирующей функции подбираются так, чтобы выполнялось условие минимума среднеквадратичных отклонений (критерий оптимальности):

где yt =ф(х, ) - экспериментальные точки (/= l...n) . Степень точности аппроксимации экспериментальных

данных в MS Excel оценивается коэффициентом детерминации (R2). Чем ближе этот коэффициент к значению 1, тем точнее приближение. Рассмотрим процедуру аппроксимации на примере.

283

Информационные технологии в экономике

В итоге мы получим аппроксимацию экспериментальных данных в виде кривой, показанной на рис. 10.4.

Динамика производства

у = 1154,11_п(х)- 8753.3 R2 = 0,897

является удовлетворительным. Для того, чтобы убедиться в правильности выбора типа аппроксимирующей функции, следует выбрать несколько разных функций для аппроксимации (трендов) и сравнить значения величин достоверности для каждого варианта тренда.1

Правая кнопка на линии тренда дает возможность редактировать его,подбирая другие функции для аппроксимации. Наилучшей в данном примере является полиномиальная функция, которая дает показатель достоверности и'=0,9917, тогда как для логарифмической функции этот показатель равен 0,867 (рис. 10.5).

Полученная аналитическая зависимость позволяет вычислять значения функции в дополнительных точках. Для этого в ячейку листа MS Excel можно занести полученную в результате аппроксимации формулу со ссылкой на ячейку с независимой переменной.

1 Наилучшей считается функция с коэффициентом детерминации R2, близким к 1.

286

Глава 10. Задачи оптимизации в экономических исследованиях

Полиномиальная аппроксимация

Рис. 10.5

Несколько независимых переменных. В тех случаях, когда аппроксимируемая переменная у зависит от нескольких независимых переменных

используются следующие специальные функции Excel:

• ЛИНЕЙН иТЕНДЕНЦ дляаппроксимации линейных функций вида: v = «„ +c/,.v, + a,x, +... + апхп

т ЛГРФПРИБЛ и РОСТ для аппроксимации показательных функций вида: ;•= а0а{'а^ ...о„х"

Функции ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ имеют одинаковые параметры:

•множество наблюдаемых значений у;

•множество наблюдаемых значений .х,, г,,...х„;

•логическое значение, которое указывает, равна ли О константа й0;

•логическое значение (статистика), которое указывает, нужна ли дополнительная статистика по регрессии.

Функции ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ позволяют находить точки, лежащие на аппроксимирующих кривых

287

Информационные технологии в экономике

у = ап +огх, +аг.\2 +... +апхп и у = а0а^а^- ...аяг" соответственно.

Обе функции имеют одинаковые аргументы:

•множество известных значенийу;

•множество известных значений х;

•новые значения х (строка илистолбец новых значений для каждой независимой переменной х);

• логическое значение для константы (равна нулю или нет).

"•* Пример 2

Датчики расположены на расстоянии 20, 50 и 100м. от источника радиоактивногоизлучения. Измерения интен-

•Выделим свободный диапазон из 3-х столбцов и 5 строк

•Предположим, что аппроксимация имеет степенной характер и вызовем функцию ЛГРФПРИБЛ из типа

Статистические.

288

Глава 10. Задачи оптимизации в экономических исследованиях

I Укажем диапазон известных значений у и х и логическую константу, равную 1.

I Нажмем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER и в указанном диапазоне получим результат:

Здесь в первой строке расположены коэффициенты af а2, а3, соответственно. Во второй строке - стандартные ошибки коэффициентов, в третьей - коэффициент детерминации R2 и стандартная ошибка у, в четвертой и пятой строках — другие статистические характеристики.

Таким образом, аппроксимирующее уравнение примет вид:

>> = 99,7хО,98д'хО,92" ,

причем точность аппроксимации Дг=0,99998 достаточно высока.

"^ Пример 3

Менеджерами книжного магазина в течение недели собирались данные о прибыли от продажи книг (у) в зависимости от числа посетителей магазина (xt) и числа покупок (хг). В результате была получена таблица:

Требуется построить эмпирическую таблицу, отражающую динамику прибыли в зависимости от числа посетителей (от 100 до 130) и числа покупок (от 15 до 25) с шагом А = 5.

289