Информационные системы менеджмента - Бажин И.И

где у - зависимая переменная (реализация), x-i - время, хг - расходы на рекла­ му, Хз - цена товара, Х4 - конкурентная цена, Xs - индекс покупательной способ­ ности; a, bi, b2, Ьз, b4, bs - искомые коэффициенты множественной регрессии.

Установим сначала общую значимость модели, используя F-критерий. Рас­ считаем два показателя: среднеквадратичное отклонений, обусловленных рег­ рессией

Е(У-У)2 (5.7)

U l per pec.

и среднеквадратичное отклонений, обусловленных остатками, измеряющее ва­ риацию, не объясненную регрессией

df

остат.

Здесь dfperpec = 5 - число степеней свободы для регрессии, заданной числом переменных к, а число степеней свободы для остатков может быть определено через общее число степеней свободы df06u, = n - 1 (п - число данных совокуп­ ности) и число независимых переменных в следующем виде

dfocrar = dfo6U4 - dfperpec = П - 1 - k = 1 6 - 1 - 5 = 1 0

Если модель описывает связь между у и всеми переменными х, то величина остаточной вариации будет очень малой. Рассмотрим гипотезы для всей модели в целом:

Н0: нет линейной связи между какими-либо независимыми переменными и реализацией, то есть Pi = Рг = Рз = P<t = Ps = 0.

Hi: существует линейная связь между реализацией и одной или большим

числом независимых переменных, т.е. по крайней мере, одна величина ps * 0. Для того чтобы модель была полезной и имела силу, необходимо иметь ос­

нования отвергнуть гипотезу Н0 и принять Hi. Для этого можно воспользоваться F-критерием, представляющим собой отношение среднеквадратичного отклоне­ ний, обусловленных регрессией (5.7) к среднеквадратичному отклонений, обу­ словленных остатками (5.8). Как уже отмечалось, в регрессионном анализе в числителе F-критерия всегда помещается вариация у по регрессии. Если она меньше, чем вариация по остаточной величине, принимается гипотеза Н0, то есть в этом случае модель не объясняет изменений у. Это значение F-критерия сравнивается с табличным значением F0,o5, k, (n-i-k>-

Для нашего примера из таблиц стандартного распределения F-критерия по­ лучим F0,o5,5, ю = 3,326, а вычисленное значение F-критерия для исходных дан­ ных примера составляет F = 2871 /1736 = 16,3.

Поскольку 16,3 > F0,o5,5, ю. можно утверждать, что модель в целом значима с высокой достоверностью.

322 Часть 1. Новые принципы работы

Теперь проведем испытание каждого из коэффициентов регрессии. Для это­ го рассчитаем t-критерии для каждого из коэффициентов bi, Ьг, Ь3, Ьд, Ь5.

Для первого коэффициента кн гипотезы формулируются так:

Н0: независимая переменная х, - "время" - не помогает объяснить измене­ ние реализации при условии, что остальные переменные х, присутствуют в мо­ дели, то есть Pi = 0.

Нч: время дает существенный вклад, и переменная хч должна быть включе­ на в модель, то есть Pi Ф 0.

Проведем испытание гипотезы на 5%-ном уровне, пользуясь двусторонним t-критерием при ( п - 1 - к ) = 1 6 - 1 - 5 = 10 степенях свободы.

Граничные условия на данном уровне достоверности:

to,o25, ю= ± 2,228.

Значение t-критерия для коэффициента регрессии определяется в виде

где оцененная стандартная ошибка величины bi вычисляется по формуле

seb = .

Рассчитанные значения t-критерия должны лежать вне указанных границ для того, чтобы можно было отвергнуть гипотезу Н0 для коэффициента b i

Так как все коэффициенты bj должны подвергнуться аналогичному испыта­ нию, то в приведенной ниже таблице представлены результаты проверки значи­ мости для всех пяти независимых переменных задачи, полученные на основе расчетов в среде Microsoft Excel.

Полученные результаты показывают, что наша модель с пятью независи­ мыми переменными не достоверна, потому что два коэффициента регрессии не значимо отличны от нуля. Необходимо решить, какую переменную следует ис­ ключить из модели.

В следующей таблице представлены шаги, предпринятые по мере того, как мы сокращаем число переменных в модели от 5 до 4, затем до 3, до 2 и, нако­ нец, до 1 независимой переменной. Прочерки в таблице показывают, что данная переменная не включена в модель. Пользуясь результатами проведенных ис­ следований, можно решить, какая переменная должна быть исключена из рас­ смотрения. Для каждой модели проводится как испытание модели в целом, так и каждого из коэффициентов регрессии. В результате оставшиеся значимые мо­ дели могут быть исследованы на третьем этапе.

Шаг 3. Теперь необходимо решить, какую из значимых моделей нужно ис­ пользовать. В нашем примере значимые модели появились лишь тогда, когда количество переменных сократилось до двух. Далее сопоставление моделей необходимо проводить путем сравнения стандартных отклонений остатков. Пер­ вая из значимых моделей - с независимыми переменными х2 (расходы на рек­ ламу) и х5 (индекс покупательной способности) - является наилучшей, так как имеет меньшее значение стандартного отклонения (41 < 50) по сравнению с другой значимой моделью с двумя переменными (x-i и х2).

Последнее, что необходимо сделать - это сравнить лучшую модель с двумя переменными с лучшей моделью, содержащей одну переменную. Лучшей моде­ лью с одной переменной является та, что имеет наивысший коэффициент кор­ реляции (0,82) с независимой переменной Х5. Добавление еще одной перемен­ ной - Хг значительно улучшило модель, так как увеличился коэффициент корре­ ляции, и уменьшилась величина стандартного отклонения (41 < 62). Использо­ вание для проверки частного F-критерия также показывает, что введение вели­ чины расходов на рекламу значительно улучшает модель с одной независимой переменной.

Итак, окончательно лучшая из моделей множественной корреляции для рассмотренного примера имеет вид

у = -1476+ 9,54х2 + 15,8х5

Решив полученную систему пяти уравнений с пятью неизвестными, получим искомые параметры модельной кривой. Следует, однако, отметить, что, несмот­ ря на идейную простоту изложенного метода, практическая его реализация в ряде задач может оказаться затруднительной из-за сложностей решения полу­ ченной системы уравнений. Трудностей нет, если эта система окажется линей­ ной, однако при наличии в моделирующей функции нелинейностей типа транс­ цендентных членов (как в указанном примере) ожидать линейности системы не приходится.

Зачастую эффективней отыскивать параметры кривой, не прибегая к диф­ ференцированию критерия F, а осуществляя прямой поиск минимума этого кри­ терия. Это можно выполнить с использованием программы "Поиск решения" из раздела меню "Сервис" программного комплекса Microsoft Excel. В таком слу­ чае нужно составить выражение F, записывая в нем модель через искомые па­ раметры, и, обратившись к программе, получить численные значения парамет­ ров с высокой точностью.

При таком подходе коэффициент корреляции может быть вычислен из об­ щего выражения как корень квадратный из отношения суммы квадратов откло­ нений у, обусловленных регрессией, к сумме квадратов общей вариации у, то есть

r = /Z(y-y)2 "

Ш У - У ) 2

Иногда трудности использования нелинейных функций применительно к вы­ борочной совокупности обходят, манипулируя нелинейной моделью в линейной форме. Например, если по виду диаграммы рассеяния мы решим, что наилуч­ шей моделью будет кубическая парабола

у = ах3 + Ьх2 + сх + d,

то можно переписать эту модель, используя замену переменных,

где Z = х3; X = х2.

Вмодели (5.10) переменные Z, X и х рассматриваются как обыкновенные независимые переменные, даже если мы знаем, что они не могут быть незави­ симы друг от друга. К модели (5.10) применяют алгоритм множественной рег­ рессии, описанный ранее.

Вряде ситуаций прибегают к так называемой линейной трансформации. Так, например, для модели

у= а +Ь/х,

трансформация осуществляется заменой переменной Z = 1/х. При этом транс­ формированная модель становится линейной

у = а + bZ

трансформация может быть осуществлена логарифмированием выражения (5.11) с использованием натурального логарифма. Тогда получим

Iny = Ina + Ьх

Обозначив Y = Iny и А = Ina, снова получим линейную форму уравнения регрес­ сии

Y = А + Ьх

В ряде ситуаций такого рода переход к линейным формам может оказаться полезным, так как позволяет использовать для аппроксимации весь аппарат ли­ нейной регрессии. Это особенно актуально в случаях, когда пользователь не располагает мощными вычислительными средствами типа Microsoft Excel или им подобных. В целом же, при наличии возможностей использования информа­ ционных технологий, более эффективной оказывается прямая минимизация суммы квадратов отклонений для модели, представленной в нелинейной фор­ ме.

5.3. МЕТОДЫ И МОДЕЛИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

Каким бы видом бизнеса вы не занимались, вам приходится планировать предпринимательскую деятельность на будущий период. При составлении как краткосрочных, так и долгосрочных планов менеджеры должны прогнозировать будущие значения таких важнейших показателей, как, например, объем продаж, ставки процента, издержки и т.п. В этом параграфе рассмотрим возможности применения в целях прогнозирования фактических данных за прошлые проме­ жутки времени, причем в качестве независимой переменной будет выступать переменная времени. Например, мы хотим объяснить колебания объемов про­ даж только через изменение этого показателя во времени, без учета каких-либо других факторов. Если удается выявить определенную тенденцию изменения фактических значений, то ее можно использовать для прогнозирования будущих значений данного показателя. Множество данных, в которых время является не­ зависимой переменной, называется временным рядом.

Значения некоторой переменной (например, объемы продаж) изменяются во времени под воздействием целого ряда факторов. Если, скажем, некоторая компания предлагает на рынке новый вид продукции, то с течением времени объемы продаж этой продукции возрастают. Как известно, общее изменение значений переменной во времени называется трендом и обозначается через Т. Чаще всего используется линейный тренд. Это означает, что модель тренда легко построить, используя для расчета параметров прямой, наилучшим обра­ зом аппроксимирующей данный тренд, метод линейной регрессии. Затем данная

модель может быть использована для прогнозирования будущих значений трен­ да. В действительности тренд в чистом виде либо не существует, например, при колебании значений спроса вокруг некоторой фиксированной величины, либо в большинстве случаев он является нелинейным. Тренд значений спроса нахо­ дится в связи с различными стадиями жизненного цикла продукта. Как правило, новым видам продукции соответствует возрастающий тренд (рис.5.19), тогда как устаревшим продуктам на заключительной стадии их жизненного цикла - убы­ вающий (рис.5.20).

В большинстве случаев значения переменных характеризуют не только тренд. Часто они подвержены циклическим колебаниям. Если эти колебания по­ вторяются в течение небольшого промежутка времени, то они называются се­ зонной вариацией. Колебания, повторяющиеся в течение более длительного промежутка времени, называются циклической вариацией. Модели, содержа­ щие сезонную компоненту, обычно основаны на традиционном понятии сезона. Вместе с тем, в более широком смысле термин "сезон" в прогнозировании при­ меним к любым систематическим колебаниям. Например, при изучении товаро­ оборота в течение недели под термином "сезон" подразумевается 1 день. При исследовании транспортных потоков в течение дня или недели также может ис­ пользоваться модель с сезонной компонентой.

Каждая модель прогнозирования, кроме того, характеризуется значением ошибки, или остатка, то есть той части значения наблюдения, которую нельзя объяснить с помощью построенной модели. Величину ошибок используют как меру степени соответствия модели исходным данным. В качестве таких величин обычно используют среднее абсолютное отклонение, равное отношению суммы абсолютных величин (без учета знака) всех ошибок к общему числу на­ блюдений, и среднеквадратичную ошибку, которая представляет собой отно­ шение суммы квадратов ошибок к общему числу наблюдений.

При построении прогноза различают модели с аддитивной и мультипли­ кативной компонентой. Это различие необходимо учитывать при построении тренда.

5.3.1. АНАЛИЗ МОДЕЛИ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ

Моделью с аддитивной компонентой называется такая модель, в которой вариация значений переменной во времени наилучшим образом описывается путем сложения отдельных компонент. Покажем построение и анализ такой мо­ дели на примере.

Пример. Пусть объемы продаж продукции некоторой фирмой в течение послед­ них 13 кварталов могут быть представлены помещенной ниже таблицей.

Необходимо проанализировать указанное множество данных и установить,

ного ряда полезно последовательно соединить точки отрезками, чтобы более четко увидеть любую тенденцию.

Как следует из диаграммы, возможен возрастающий тренд, содержащий се­ зонные колебания. Объемы продаж в зимний период (1 и 4) значительно выше, чем в летний (2 и 3). Сезонная компонента практически не изменяется в течение трех лет. Тренд показывает, что в целом объем продаж возрос примерно с 230 тысяч штук в 19X6 году до 390 тыс.шт. в 19X8 году, однако увеличения сезонных колебаний не произошло. Этот факт свидетельствует в пользу модели с адди­ тивной компонентой.

При анализе модели циклическую вариацию учитывать не будем, так как этот фактор можно выявить только по данным за длительные промежутки вре­ мени в 10, 15 или 20 лет.

Модель фактических значений объема продаж А можно представить через трендовое значение Т, сезонную вариацию S и ошибку Е м следующим образом

В моделях как с аддитивной, так и с мультипликативной компонентой общая процедура анализа примерно одинакова:

Шаг 1. Расчет значений сезонной компоненты.

Шаг 2. Вычитание сезонной компоненты из фактических значений. Этот процесс называется десезонализацией данных. Расчет тренда на основе полу­ ченных десезонализированных данных.

Шаг 3. Расчет ошибок как разности между фактическими и трендовыми зна­ чениями.

Шаг 4. Расчет среднего отклонения или среднеквадратической ошибки для обоснования соответствия модели исходным данным или для выбора из множе­ ства моделей наилучшей.

Расчет сезонной компоненты в аддитивных моделях

Для того чтобы элиминировать влияние сезонной компоненты, воспользу­ емся методом скользящей средней. Вернемся к описанному примеру. Просум­ мировав первые четыре значения, получим объем продаж в 19X6 году. Если разделить эту сумму на 4, найдем средний объем продаж в каждом квартале 19X6 года, то есть

(239 + 201 + 182 + 297)/4 = 229,75

Полученное значение уже не содержит сезонной компоненты, поскольку представляет собой среднюю величину за год. У нас появилась оценка значения тренда для середины года, то есть для точки, лежащей в середине между квар­ талами II и III. Если последовательно передвигаться вперед с интервалом в три месяца, можно рассчитать средние квартальные значения на промежутках: ап­ рель 19X6 - март 19X7 (251), июль 19X6 - июнь 19X7 (270,25) и т.д. Данная про­ цедура позволяет генерировать скользящие средние по четырем точкам для ис-

ходного множества данных. Получаемое таким образом множество скользящих средних представляет наилучшую оценку искомого тренда.

Теперь полученные значения тренда можно использовать для нахождения оценок сезонной компоненты путем расчета величины

A - T = S + E

Следует отметить, что оценки значений тренда, полученные в результате расчета скользящих средних по четырем точкам, относятся к несколько иным моментам времени, чем фактические данные. Первая оценка, равная 229,75, представляет собой точку, совпадающую с серединой 19X6 г., то есть лежит в центре промежутка фактических объемов продаж во II и III кварталах. Вторая оценка, равная 251, лежит между фактическими значениями в III и IV кварталах. Нам же требуются десезонализированные средние значения, соответствующие тем же интервалам времени, что и фактические значения за квартал. Изменить положение во времени десезонализированных средних можно путем дальней­ шего расчета средних для каждой пары значений. Найдем среднюю из первой и второй оценок, центрируя тем самым их на июль-сентябрь 19X6 г., то есть

(229,75 + 251)/2 = 240,4

Это и есть десезонализированная средняя за июль - сентябрь 19X6 года. Эту десезонализированную величину, которая называется центрированной сколь­ зящей средней, можно непосредственно сравнивать с фактическим значением за июль - сентябрь 19X6 г., равным 182. Отметим, что определение центриро­ ванных скользящих средних приводит к отсутствию оценок тренда за первые два или последние два квартала временного ряда. Результаты расчетов центриро­ ванных скользящих средних для рассматриваемого примера помещены в при­ веденную ниже таблицу.