4. Динамика материальной точки. Масса. Сила. Импульс (количест-

во движения). Законы Ньютона.

В основу своей механики Ньютон положил три известных закона, носящих его имя. Первый закон Ньютона, в соответствии с выводами Галилея, утвер­ждает, что свободно движущееся тело, т. е. тело, на которое не действуют другие тела (или действие их взаимно скомпенсировано), относительно некоторых систем отсчета движется с неиз­менной скоростью (иногда говорят - движется по инерции). Первый закон Ньютона выделяет определенный класс систем отсчета, называемых инерциальными, в которых движение свободного тела имеет наиболее простой вид (происходит равномерно и прямолинейно, в частном случае – покоится), и в которых только и верна механика Ньютона. Иногда его и формулируют в виде утверждения о сущест­вовании инерциальных систем отсчёта (ИСО). Если известна хотя бы одна ИСО, то все ИСО, движущиеся относительно неё с постоянной скоростью, также будут инерциальными.

Понятие ИСО является предельной идеализацией, подобной понятию материальной точки. Обычно в качестве ИСО выбирают систему отсчёта, связанную с Землёй - так называемую геоцентрическую систему отсчёта. Её инерциальность приближенная, нарушаемая суточным вращением Земли вокруг своей оси. Гораздо большей степенью инерциальности обладает гелиоцентрическая система отсчёта, связываемая с Солнцем. На практике же, для небольших пространственных и временных и интервалов с достаточной долей инерциальности обладает лабораторная система отсчета, связываемая с каким-либо конкретным телом на Земле.

Согласно принципу относительности Галилея, все ИСО являются равноправными в отображении механических явлений, то есть все законы механики во всех ИСО имеют одинаковый вид и никакими механическими опытами, проводимыми внутри ИСО, нельзя обнаружить движется она или покоится.

В ИСО все наблюдаемое ускорение тела объясняется воздействием на него со стороны конкретных, окружающих его тел. Это действие, как показывает ана­лиз опыта, зависит от взаимных положений, а иногда ещё и от скоростей дан­ного тела и воздействующих на него тел. В качестве меры этого воздейст­вия, вызывающего ускорения тел в ИСО, в механике Ньютона выбирается величина, называемая силой F. Сила F является векторной функцией положения и/или скорости тела относи­тельно ИСО, то есть F = F(r, ), и она прямо пропорциональна сообщаемому ею ускорению а тела:

F(r, )  а или а  F

Если на тело действует несколько сил, их можно заменить геометрической результирующей F_ = F_ - принцип суперпозиции сил (независимого наложения, сложения) сил.

Анализ опыта показывает, что одна и та же сила сообщает разным телам разные ускорения. Таким образом, ускорение, приобретаемое телом, зависит не только от внешних воздействий, мерой которых выступает сила, но и от внутрен­них свойств тела, мерой которых в механике Ньютона выбрана величина, названная массой(Под массой тела Ньютон понимал величину, пропорциональную его плотности и объему, то есть: m = ρV.) m тела. Очевидно, что более массивные тела, обладающие большей массой, должны приобретать меньшие ускорения при одинаковых воздействиях (силах).

В результате можно связать ускорение с силой и массой в следующем виде: а = F_m и утверждать, что ускорение а, приобретаемое точечным телом в ИСО прямо пропорционально действующей на него (или, как ещё говорят - приложенной к нему) результирующей силе F_ и обратно пропорцио­нально массе m тела. Это утверждение и представляет собой основной закон динамики материальной точки (и поступательного движения твёрдого тела) - второй закон Ньютона.

По известным силам, действующим на тело и массе тела, второй закон Ньютона позволяет рассчитать ускорение а тела. Зная начальные условия движения, по формулам кинематики далее можно однозначно рассчитать, предсказать скорость и уско­рение тела, то есть решить основную задачу механики. В механике Ньютона имеет место однозначная линейная взаимосвязь между мерами движения и взаимодействия, порождающая однозначную причинность и предсказуемость движения, называемую еще лапласовским или механистическим детерминизмом.

Такая динамическая характеристика тела, как его масса, выступает, согласно 2-му закону Ньютона, мерой его инертности, неподатливости к изме­нению скорости, к изменению состояния движения. Чем больше масса тела, тем меньшее ускорение оно приобретает при воздействии одной и той же силы, т. е. тем медленнее изменяется его скорость. Инертность и выража­ет собой невозможность мгновенного изменения скорости тела, растяну­тость этого изменения во времени, т. е. замедленность изменения скорости тела. Измерение массы как меры инертности тела может быть осуществлено путём измерения и сравнения приобретаемых разными телами ускорений при воздействии на них одной и той же силы. Выбрав одно из тел за эталон массы, можно через его массу выразить массы других тел:

из F = mа = m_эт а_эт  m = m_эта_эта, где m_эт и a_эт - масса и ускорение тела, выбранного за эталон единицы массы. Единица массы - килограмм (кг) является основной в СИ.

Масса является аддитивной характеристикой тела, т. е. масса m_ совокупности тел, частиц равна сумме масс этих тел (частиц) по отдельности: m_ = m_.

Сила, как векторная мера воздействия (или взаимодействия) тел, измеряется производи­мым ею эффектом, численно равным произведению массы тела на его ускорение: F = mа. Единица силы в СИ - ньютон - сила, сообщающая телу массой в 1 кг ускорение в 1 м/с².

При решении конкретных задач динамики 2-ой закон Ньютона записывают обычно в скалярной форме, т. е. в виде проекций на оси координат соответствующей ИСО:

а_х = F_хm mа_х = F_х

а = Fm  а_у = F_уm или mа_у = F_у

а_z = F_zm mа_z = F_z

При этом предполагается справедливость принципа суперпозиции (независимости действия и векторного характера сложения) сил, согласно которому результирующее ускорение от суммы сил, действующих на тело, равно векторной сумме ускорений, сообщаемых телу действующими на него силами по отдельности:

а_ = а_ = F_ m = (1m)F_ = F_ m

2-ой закон Ньютона позволяет рассчитать ускорение а тела массой m, если известен характер действующих на него сил, то есть их зависимость от координат и/или скорости. В зависимости от характера этой зависимости различают ряд следующих видов сил:

- сила тяжести F = mg - направлена вертикально вниз и, так как она прямо пропорциональна массе тела, сообщает всем телам одинаковое ускорение g  9,8 м/с² (ускорение свободного падения); масса m здесь уже не инертная, а тяжелая- мера силы тяжести.

- сила гравитационного взаимодействия F_гр = m₁m₂r² - опре­деляет притяжение двух тел с массами m₁ и m₂, разделённых расстоя­нием r. Коэффициент  = 6,6710^-11 Нм²кг² – называется гравитационной постоянной. Масса здесь также тяжелая, выступающая в роли гравитационного заряда (двоякий смысл массы - мера инертности и мера гравитации).

- сила упругости F_у = - kх, где х – вектор линейной деформации упругого тела (вектор приращения длины относительно ее недеформированного, равновесного значе­ния), а k - коэффициент упругости или в применении к пружине - жёст­кость пружины.

- сила вязкого сопротивления F = - r, где  - скорость тела в вязкой среде, r - коэффициент сопротивления среды (обычно жидкой или газо­образной).

Кроме названных выше сил большое значение в решении задач механики имеют такие силы, как вес тела и сила трения, которые не имеют явного выражения через коорди­наты или скорости:

- весом тела Р называют силу, с которой тело действует на подвес или опору;

- силой трения скольжения F_тр называют силу, прямо пропорциональную силе F_нд нормального давления ( Обычно ее заменяют на численно равную ей силу N реакции опоры, то есть Fтр = μN.), т. е. составляющей веса тела, нормальной к поверхности опоры: F_тр = F_нд, где  - коэффициент трения скольжения тела о поверхность. Сила трения скольжения направлена против перемещения тела и является составляющей силы реакции опоры.

Исторически исходной (ньютоновской) формулировкой 2 - го закона Ньютона была следующая: F = dРdt, где Р = m - импульс тела, являющийся векторной динамической мерой (иногда говорят - количеством) механического движения. Эта форма записи второго закона Ньютона является более общей, сводящейся к известной ранее F = mа при условии независимости массы m тела от скорости  его движения. Покажем это:

F = dРdt = d(m)/dt = md/dt = mа.

В ньютоновской формулировке основного закона динамики сила приобретает более наглядный смысл, a именно – быстроты изменения импульса тела, то есть быстроты изменения количества механического движения материальной точки.

Полученная форма второго закона Ньютона F = dРdt позволяет для взаимодействий с постоянной по времени силой (или для кратковременных воздействий, типа удара, за малое время t  0 которых сила не успевает заметно измениться, то есть остаётся практи­чески постоянной), записать его в следующем виде:

Fdt = dР  Ft = Р, где изменение импульса тела Р = Р₂ – Р₁ при уда­ре оказывается равным импульсу Ft силы за время t её дейст­вия.

В общем случае изменение импульса Р тела за время t определится импульсом силы, выражаемым через интеграл: Р = Fdt. Импульс силы представляет собой интегральную по времени векторную меру взаимодействия тел.

Третий закон Ньютона утверждает, что силовые действия тел всегда носят харак­тер взаимодействия; при этом силы, с которыми в ИСО действуют друг на друга два точечные тела, равны по величине и противоположно направлены вдоль прямой, соединяющей эти тела;

F₁₂ = - F₂₁

F₁₂ - сила, действующая на первое тело со стороны второго тела; F₂₁ - сила, действующая на второе тело со стороны первого тела. Этот закон вместе с первыми двумя законами Ньютона, позволяет осуществить переход от динамики точки к динамике системы точек.