- •1. Материальная точка. Система отсчета. Траектория, путь, перемещение. Скорость. Формулы пути и скорости.
- •2. Кинематика материальной точки. Путь, скорость, ускорение. Тангенциальное, нормальное, полное ускорение.
- •Модуль а полного ускорения в соответствии с теоремой Пифагора, равен:
- •3. Абсолютно твердое тело. Виды движения абсолютно твердого те-
- •4. Динамика материальной точки. Масса. Сила. Импульс (количест-
- •5. Система материальных точек. Силы внешние и внутренние. Им-
- •6. Система материальных точек. Центр масс. Движение центра масс
- •7. Работа. Мощность. Работа постоянной и переменной силы.
- •8. Энергия. Виды механической энергии. Кинетическая энергия.
- •9. Консервативные и неконсервативные силы. Связь между силой и
- •10. Работа и энергия упругих сил и сил тяготения. Потенциальная
- •11. Консервативные и неконсервативные силы. Закон сохранения
- •12. Момент инерции материальной точки. Момент инерции тела. При-
- •13. Момент силы. Момент импульса. Основной закон динамики враща-
- •14. Момент импульса материальной точки. Момент импульса тела.
- •15. Кинетическая энергия вращающегося тела. Работа при враща-
- •16. Сопоставление характеристик и уравнений для поступательного
- •17. Гармонический осциллятор. Дифференциальное уравнение соб-
- •18. Гармонический осциллятор. Кинетическая, потенциальная и
- •19. Физический и математический маятники. Уравнение движения ма-
- •20. Формула Эйлера. Запись гармонических колебаний в комплексной
- •21. Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих
- •22. Вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение вынужден-
- •23. Вынужденные колебания. Амплитуда вынужденных колебаний. Ре-
- •24. Общее определение волнового процесса. Уравнение плоской
- •25. Волновой процесс. Упругие волны. Скорость распространения
- •26. Динамика волнового процесса. Перенос энергии волной. Вектор
- •27. Сложение волн. Принцип суперпозиции. Стоячая волна. Узлы и
- •28. Графический метод изображения колебаний. Сложение колебаний
- •29. Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний с одинаковыми и
- •30. Понятие идеального газа. Основные газовые законы. Уравнение
- •31. Молекулярно-кинетический и термодинамический подходы в мо-
- •38. Функция распределения молекул по координатам. Функция
- •39. Число столкновений и средняя длина свободного пробега моле-
- •40. Явления переноса в газах. Диффузия. Коэффициент диффузии.
- •41. Первое начало термодинамики. Количество теплоты. Работа и
- •42. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона. Работа газа при
- •43. Первое начало термодинамики и его применение к различным
- •44. Работа, совершаемая газом в различных изопроцессах.
- •45. Графическое изображение термодинамических процессов и рабо-
- •46. Приведенное количество теплоты. Неравенство Клаузиуса.
- •47. Энтропия и ее свойства. Физический смысл. Вычисление изме-
- •48. Второе начало термодинамики. Различные формулировки. Ста-
- •49. Реальные газы. Уравнение состояния реального газа. Внут-
- •50. Понятие о твердых телах. Тепловое движение в кристаллах.
- •51. Инерциальные системы отсчета. Преобразования и принцип от-
- •52. Основные постулаты специальной теории относительности. Ка-
- •53. Преобразования Лоренца-Эйнштейна и их некоторые кинемати-
- •54. Длина отрезка и длительность событий в различных системах
- •55. Релятивистская динамика. Релятивистские масса и импульс.
- •56. Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в
20. Формула Эйлера. Запись гармонических колебаний в комплексной
форме[?]
21. Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих
колебаний, время релаксации, коэффициент затухания, декремент.
Проведём физико-математический анализ собственных (затухающих) колебаний применительно к грузу на пружине. Используем силовой подход, основывающийся на втором законе Ньютона. Силу сопротивления зададим в виде: Fcопр = - r , где r - коэффициент сопротивления вязкой среды.
Запишем второй закон Ньютона для груза массой m, колеблющегося в вязкой среде на пружине с жесткостью k:
mа = F; F = Fупр + Fсопр = - kх – r , или для одномерного случая:
mx" = - kх – rх' = х" + 2(r2m)х' + (km)х = 0 х" + 2х + о2х = 0
Полученное дифференциальное уравнение затухающих колебаний (ДУЗК) отличается от дифференциального уравнения свободных гармонических колебаний (ДУСГК) наличием члена, содержащего первую производную х' от смещения х и отражающего собой действие силы сопротивления. Под = r2m обозначен коэффициент затухания - отношение мер сопротивления и инертности. За о = (k/m) обозначена частота свободных колебаний, т. е. в отсутствии сопротивления, при r = 0.
Для решения полученного дифференциального уравнения затухающих колебаний сведём его путём замены переменной х = zе–t к уравнению свободных гармонических колебаний. Выразим первую и вторую производные х и подставим их в ДУЗК:
х' = ddt(zе–t) = zе-t - ze-t; х" = ze- t + 2ze-t - ze-t - ze-t = ze-t - 2ze-t + 2ze-t;
(z - 2z + 2z + 2z - 22z + о2z)e-t = 0 z + (о2 – 2)z = 0 или: z + 2z = 0, где 2 = о2 - 2. (ахтунгЪ, =, просто попутали !!!!)
В новой переменной z дифференциальное уравнение затухающих колебаний свелось к известному дифференциальному уравнению свободных гармонических колебаний (ДУСГК), решение которого имеет стандартный вид гармонической функции z = Аоcos(t + ).
Осуществляя обратный переход к исходной переменной х, получим:
х = zе–t = Аоe-tcos (t + ) = Аcos (t + ) - уравнение затухающих колебаний, где А = Aоe-t - амплитуда затухающих колебаний, убывающая со временем по экспоненциальному закону. Коэффициент затухания определяет скорость убывания амплитуды, быстроту перевода механической энергии колебаний во внутреннюю, тепловую энергию.
Помимо убывания амплитуды колебаний, сопротивление среды приводит к понижению циклической частоты затухающих колебаний = (о2 – 2) в сравнении с частотой о свободных колебаний. Это можно объяснить тем, что сила сопротивления, будучи направленной против скорости (перемещения) груза, замедляет его движение, увеличивая длительность цикла (период), уменьшая частоту .
При достаточно большом затухании (удельном сопротивлении = r/2m) о колебательный характер процесса возвращения к положению равновесия системы, выведенной из него, исчезает, превращаясь в монотонно убывающий процесс, называемый апериодическим. В этом случае трение, диссипация преобладают над упругостью. Такой режим реализуется, например, для движения рамки электроизмерительных приборов.
Коэффициент затухания может быть осмыслен через обратную ему величину - время релаксации = 1, за которое, как нетрудно видеть, амплитуда колебаний убывает в е = 2,72 раз. Действительно, за время t = = 1, A = Aоe-t = Aоe-1 = Aоe-1 = Aоe.
Коэффициент недостаточно полно характеризует быстроту затухания колебаний, ибо из него неясно, сколько периодов колебаний (естественных масштабов времени) совершается за время релаксации. Коэффициент затухания характеризует быстроту спадания лишь огибающей колебаний. Поэтому вводят такую характеристику затухания колебаний, как декремент затухания , равный отношению значений двух соседних амплитуд (амплитуд, разделённых периодом):
= А(t)А(t + Т) = Aоe-tAоe-(t + Т) = e-te-t e-Т = eТ - изменение амплитуды за время, равное периоду Т.
На практике удобнее пользоваться логарифмическим декрементом (или ) затухания колебаний: = ln = ln [А(t)А(t + Т)] = ln eТ = Т; = Т = T.
Его наглядный смысл может быть представлен через величину е - число колебаний, совершающихся за время релаксации , обратным которому и является :
= T = 1(Т) = 1е, где е = Т.
Затухание колебаний фактически приводит к нарушению не только гармонического характера, но и периодического, ибо нет строгой повторяемости значений изменяющихся величин по причине их убывания. Отсюда следует, что периодические и гармонические колебания возникают при условии малого затухания (малого сопротивления среды, малой диссипации механической энергии колебаний).