14. Момент импульса материальной точки. Момент импульса тела.

Закон сохранения момента импульса. Примеры.

В

качествевекторной меры вращательного движения некоторой материальной точки m_ относительно неподвижной точки (полюса) О выбирается величина L_, называемая моментом импульса и определяемая векторным произведением радиус-вектора r_ материальной точки на ее импульс р_ = m__:

L_ = [r_, р_]

Вектор L_ направлен согласно правилу правого винта или из конца вектора L_ поворот вектора r_ к вектору р_ виден совершающимся по кратчайшему расстоянию против часовой стрелки

Соответственно в качестве момента импульса L твердого тела (или системы материальных точек) относительно неподвижной точки О выбирается векторная величина, равная геометрической сумме моментов импульсов L_, составляющих систему (тело) точек:

L = L_ = [r_, р_]

Закон сохранения момента импульса замкнутой системы.

Для замкнутой системы, на которую не действуют внешние тела или дей­ствие их взаимно скомпенсировано, из уравнения моментов вытекает: для М_ = 0 (условие замкнутости тела для вращательного движения – результирующий момент внешних сил, действующих на тело, должен быть равен нулю) dL/dt = 0 => L = const. Это равенство и выражает собой закон сохране­ния момента импульса (ЗСМИ) замкнутой системы. Так же, как и рассмотренные ранее законы сохранения других мер движения - импульса и энергии, этот закон является отражением некоторого свойства симметрии пространства - времени, а именно - изотропии пространства, т. е. равноправия всех направлений в нем. Этот закон, как и другие законы сохранения, является эффективным средством решения основной задачи механики - расчёта координат /положе­ний/ и скоростей тел. При вращательном движении системы тел внутренние взаимодействия могут перераспределять полный импульс системы между отдельными телами или их частями, не изменяя его суммарного значения.

15. Кинетическая энергия вращающегося тела. Работа при враща-

тельном движении.

Кинетическая энергия вращающейся материальной точки может быть запи­сана во "вращательных" характеристиках следующим образом:

Е_{к вр} = m²2 = m²r²2 = J²2; Е_{к вр} = J²2

Полученное выражение является общим для кинетической энергии любого тела во вращательном движении. Работа же (момента силы) во вращательном движении представляет собой величину, равную изменению (приращению) кинетической энергии тела. Покажем, что она определяется скалярным произве­дением векторов момента силы и элементарного углового перемещения: dА_вр = Мd = (dL/dt)d = dL = d(J) = d(J²2) = dЕ_{к вр}

Для конечного углового перемещения  полная работа определится интегралом: А₁₂ = Мd = d(J²2) = J₂²2 - J₁²2 = Е_{к вр}

Если движение тела является сложным, включающим в себя и поступательное, и вращательное движения, полная кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений:

Е_к = Е_{к пост} + Е_{к вр} = m²2 + J²2 - теорема Кёнига (в теоретической механике): при произвольном движении твердого тела его кинетическая энергия равна сумме кинетической энергии поступательного движения со скоростью _с центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс.