II.6. Метод Зейделя решения слау

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итерации. Основная его идея заключается в том, что при вычислении -го приближения неизвестной учитываются уже вычисленные ранее -е приближения неизвестных . Пусть дана приведенная линейная система

.

Выберем произвольно начальные приближения корней , стараясь, чтобы они в какой-то мере соответствовали неизвестным . Далее, предполагая, что -ые приближения корней известны, согласно методу Зейделя будем строить -ые приближения корней по следующим формулам:

Теорема сходимости для простой итерации остается верной и по методу Зейделя.

Пример 2.4. Методом Зейделя решить систему

Решение. Приведем систему к виду, удобному для итерации

В качестве нулевых приближений корней возьмем:

Применяя метод Зейделя, последовательно получим

и т.д.

Результаты вычислений с точностью до четырех знаков поместим в таблицу:

0	1,2000	0,0000	0,0000
1	1,2000	1,0600	0,9480
2	0,9992	1,0054	0,9991
3	0,9996	1,0001	1,0001
4	1,0000	1,0000	1,0000
5	1,0000	1,0000	1,0000

Точные значения корней: .

II.7. Сходимость итерационных процессов для систем линейных уравнений

Определение 2.1. Под нормой матрицы понимают действительное число , удовлетворяющее условиям:

1. , причем .

2. , – число, в частности, .

3. .

4. .

В дальнейшем для матрицы произвольного типа мы будем рассматривать главным образом три легко вычисляемые нормы:

1. ( -норма);

2. ( -норма);

3. ( -норма).

Пример 2.5. Пусть

.

Имеем

В частности, для вектора эти нормы имеют следующий вид:

1. ;

2. ;

3. .

Пусть имеем приведенную линейную систему

, (2.19)

где , – заданные матрицы, – искомый вектор.

Теорема 2.3. Процесс итерации для приведенной линейной системы (2.19) сходится к единственному решению, если какая-нибудь каноническая норма матрицы меньше единицы, т.е. для итерационного процесса

( – произвольно) достаточное условие сходимости есть

.

Следствие. Процесс итерации для системы (2.19) сходится, если

1. или

2. или

3.

Пусть и – два последовательных приближения решения линейной системы

.

Приведем оценку погрешности приближений процесса итерации:

, (2.20)

где и какие-нибудь канонические нормы матриц и .

Пример 2.6. Показать, что для системы

процесс итерации сходится. Сколько итераций следует выполнить, чтобы найти корни системы с точностью до ?

Решение. Приведя систему к специальному виду, получим

Отсюда матрица системы

Используя, например, норму , получим:

.

Следовательно, процесс итерации для заданной системы сходится. За начальное приближение корня примем

Отсюда

Пусть – число итераций, необходимое для достижения заданной точности. Применяя формулу (2.20), имеем

Отсюда

,

,

.

Следовательно,

и .

Можно принять .

II.8. Контрольные вопросы

1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

2. Метод Гаусса решения СЛАУ.

3. Метод -разложения решения СЛАУ.

4. Метод итераций решения СЛАУ.

5. Достаточные условия сходимости метода итераций.

6. Метод Зейделя решения СЛАУ.

7. Сходимость итерационных процессов.

II.9. Варианты индивидуальных заданий

1. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и методом -разложения.

1.1. 1.2.

1.3. 1.4.

1.5. 1.6.

1.7. 1.8.

1.9. 1.10.

1.11. 1.12.

1.13. 1.14.

1.15.

2. Следующие системы линейных алгебраических уравнений решить методом итераций и методом Зейделя, проделав в каждом из методов по четыре итерации.

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

2.9. 2.10.

2.11. 2.12.

2.13. 2.14.

2.15.