IV.2. Метод итераций
Пусть дана система нелинейных уравнений специального вида
(4.8)
где функции
– действительны, определены и непрерывны
в некоторой окрестности
изолированного решения
этой системы.
Введя
в рассмотрение векторы
и
систему (4.8) можно переписать в виде
(4.9)
Для
нахождения вектор-корня
уравнения (4.9) часто удобно использовать
метод итераций:
(4.10)
где начальное приближение
.
Если процесс итерации (4.10) сходится, то
предельное значение
обязательно является корнем уравнения (2.9).
Если,
сверх того, все приближения
,
принадлежат области
и
– единственный корень системы (4.9) в
,
то
.
Метод итерации может быть применен к общей системе
(4.11)
где вектор-функция определения и непрерывная в окрестности изолированного вектор-корня .
Перепишем (4.11) в виде:
где
– неособенная матрица.
Введя обозначение
,
(4.12)
будем иметь уравнение
к которому применяется метод итераций
(4.10). Если
имеет непрерывную производную
в
,
то из (4.12) следует, что
(4.13)
Вопрос о сходимости процесса итерации решает следующая теорема.
Теорема
4.1. Пусть
и
непрерывны в области
,
причем в
выполнено неравенство
где
– некоторая постоянная.
Если последовательные приближения
не выходят из области
,
то процесс (4.10) сходится и предельный
вектор
является в области
единственным решением системы (4.9).
Учитывая
условие теоремы, что
мала по норме, выбираем матрицу
так, чтобы в (4.13)
Отсюда, если матрица
-
неособенная будем иметь
В
случае, если
,
следует выбрать другое начальное
значение
.
Пример 4.3. Методом итераций приближенно решить систему
(4.14)
Решение. Из графического построения видно (см. рис. 4.2), что система (4.14) имеет два решения, отличающихся только знаком. Ограничимся нахождением положительного решения. Из чертежа видно, что за начальное приближение положительного решения можно принять
Рис. 4.2.
Полагая
,
будем иметь
Отсюда
и
Т.к. матрица – неособенная, то существует обратная матрица
Таким образом
Положим
Тогда система (4.14) будет эквивалентна стандартному матричному уравнению
(4.15)
Пользуясь формулой (4.9), находим для решения системы (4.14) последовательные приближения
и т.д.
Ограничиваясь
четвёртым приближением, имеем корни
и
,
причем с точностью до
IV.3. Контрольные вопросы
Вид матрицы Якоби системы функций
относительно переменных
.Формула Ньютона приближенного решения нелинейной системы уравнений.
Метод итераций решения нелинейной системы.
Приведение системы к виду .
Теорема сходимости процесса итерации.
Вид матрицы в выражении
IV.4. Задачи для самостоятельного решения
Решить
аналитически систему нелинейных
уравнений
и построить рабочие формулы метода
простых итераций для численного решения
системы при начальном условии
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
