III.5. Контрольные вопросы

1. Определение абсолютной и относительной погрешности.

2. Теорема Больцано-Коши.

3. Достаточное условие существования единственного корня уравнения на .

4. Метод дихотомии (уточнение корней уравнение на ).

5. Метод простых итераций (итерационная формула).

6. Теорема о сходимости процесса итерации.

7. Приведение нелинейного уравнения к виду .

8. Метод Ньютона решения уравнения .

9. Достаточное условие сходимости метода Ньютона.

10. Рабочая формула модификации метода Ньютона.

III.6. Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать графическим и аналитическим методами решения нелинейных уравнений, что на отрезке уравнение имеет единственный корень; построить рабочую формулу метода простых итераций для решения нелинейного уравнения.

№			№
1.			11
2.			12
3.			13
4.			14
5.			15
6.			16
7			17.
8			18.
9			19.
10			20.

2. Найти по методу Ньютона наименьший положительный корень уравнения с точностью до 0,0001.

3. Вычислить с точностью до 0,0005 единственный положительный корень уравнения

4. Найти наибольший положительный корень уравнения с точностью до .

5. Найти действительные корни уравнения с точностью до трёх значащих цифр.

IV. Приближенное решение систем нелинейных уравнений

IV.1. Метод Ньютона

Рассмотрим нелинейную систему уравнений

(4.1.)

с действительными левыми частями.

Запишем (4.1) в векторном виде

, (4.2)

где

-мерный вектор,

-мерный вектор-функция.

Для решения системы (4.1) воспользуемся методом последовательных приближений.

Предположим, что найдено -е приближение одного из изолированных корней векторного уравнения (4.2). Тогда точный корень (4.2) можно представить в виде

(4.3)

где

правка (погрешность корня). Подставляя (4.3) в (4.2), получим

(4.4)

Предполагая, что функция непрерывно дифференцируема в некоторой области, содержащей и , разложим левую часть (4.4) по степеням малого вектора , ограничиваясь линейными членами:

(4.5)

где – матрица Якоби системы функций относительно переменных , т.е.

или в краткой записи

Формулу (4.5) можно записать в виде

Полагая, что матрица – не особенная, получим

Следовательно,

(4.6)

(Метод Ньютона).

За нулевое приближение можно принять грубое значение искомого корня.

Пример 4.1. Приближенно найти положительные решение системы уравнений

(4.7)

Решение. Построим графики функций и .

Рис. 4.1

Кривые, определяемые системой (4.7) пересекаются приблизительно в точках и . Исходя из начального приближения , вычислим первое приближение корней, производя вычисления с точностью до 4-х десятичных знаков. Полагая

,

имеем

Составим матрицу Якоби

где . Отсюда

причём

т.е. матрица – неособенная. Составим обратную ей матрицу

где .

Используя формулу (4.6), получаем первое приближение

Аналогично находят дальнейшие приближения. Результаты вычислений приведены в таблице.

0	3,4	0,0899	2,2	0,0633
1	3,4899	–0,0008	2,2633	–0,0012
2	3,4891	–0,0016	2,2621	–0,0005
3	3,4875	–	2,2616	–

Останавливаясь на приближении , имеем ; , причем

Пример 4.2. Методом Ньютона приближенно найти положительное решение системы уравнений

исходя из начального приближения .

Решение. Имеем:

Отсюда

Составим матрицу Якоби

Имеем

и

Находим обратную матрицу

По формуле (4.6) получаем первое приближение

Далее вычислим второе приближение имеем

и

Отсюда

Используя (4.6), получим

Аналогично находим дальнейшие приближения:

и т.д.

Ограничиваясь третьим приближением, получим:

.