IX.4. Метод Эйлера с итерациями

Для вычисления значений функции применяют формулу

(9.23)

где и вычисляют по формуле (9.22). При каждом значении вычисления продолжаются до выполнения неравенства

(9.24)

где – заданная предельная абсолютная погрешность. После этого полагают и переходят к нахождению следующего значения искомой функции. Если неравенство (9.24) не достигается, то уменьшаю шаг и выполняют все вычисления сначала. По заданной предельной абсолютной погрешности начальный шаг вычислений устанавливается с помощью неравенства .

Пример 9.5. Решить методом Эйлера с итерациями задачу Коши на отрезке для уравнения с начальным условием . Шаг выбрать так, чтобы удовлетворялось неравенство .

Решение. Исходя из неравенства , выберем шаг вычислений . Тогда . Приводя вычисления с одним запасным знаком, находим по формуле (9.22) значение

.

Проведем итерационную обработку по формуле (9.23)

,

,

Получаем .

Далее вычисляем по формуле (9.22) значение

Проводим итерационную обработку:

Получаем .

Аналогично вычисляя, находим, что , , .

Округляя до сотых, получаем , , , , , . Найденные значения совпадают с точностью до 0,01 со значениями частного решения в соответствующих точках отрезка .

IX.5. Метод Рунге-Кутта

Рассмотрим алгоритм численного решения дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта четвертого порядка.

Значения искомой функции на отрезке последовательно находим по формулам

(9.25)

где

,

; ;

; (9.26)

;

По заданной предельной абсолютной погрешности начальный шаг вычислений устанавливают с помощью неравенства . Апостериорная оценка точности выполняется по правилу Рунге-Ромберга.

Правило Рунге-Ромберга. Пусть и – значения искомой функции, полученные одним из указанных выше методов при шагах вычислений и соответственно, а – заданная абсолютная предельная погрешность. Тогда считается, что достигнута заданная точность вычислений, если выполняется неравенство

(9.27)

при всех и при соответственно для методов Эйлера, Эйлера с итерациями и Рунге-Кутта.

Решением уравнения является функция .

Применяя указанное правило, последовательно вычисляют значения искомой функции с шагом и с шагом и сравнивают полученные результаты по формуле (9.27). Вычисления заканчивают, когда неравенство (9.27) выполняется при всех .

Пример 9.6. Решить методом Рунге-Кутта с точностью до 0,001 задачу Коши на отрезке для уравнения с начальным условием .

Решение. Исходя из неравенства , выбираем начальный шаг . Тогда . Проводя вычисления с одним запасным знаком, находим по формулам (9.25)–(9.26):

,

где

.

Имеем

.

Далее

.

где

.

Следовательно,

Аналогично вычисляем

и .

Уменьшим шаг в два раза, т.е. выберем . Теперь .

Находим по формулам (9.25)–(9.26):

Аналогично находим остальные . Результаты вычислений помещаем в таблицу:

		0
		0
		0,0001
		0,0001
		0,0001

Очевидно, что левая часть неравенства (9.27) в данном случае не превосходит 0,0001. Поэтому с точностью до 0,0001 представляют искомую функцию, т.е. все найденные знаки верные.