IX.2. Метод последовательных приближений
Рассмотрим дифференциальное уравнение
(9.12)
с начальным условием
. (9.13)
Предположим,
что в некоторой окрестности точки
уравнение (9.12) удовлетворяет условиям
существования и единственности решения.
Будем строить
искомое решение
для значений
.
Случай
аналогичен. Интегрируя правую и левую
часть (9.12) в пределах от
до
получим
или в силу (13)
(9.14)
– интегральное уравнение, решение которого удовлетворяет (9.12) и (9.13).
Для нахождения решения применим метод последовательных приближений. Заменяя в (9.14) неизвестную функцию данным значением , получим первое приближение
.
Продолжая этот процесс, получим формулу приближений
(9.15)
Геометрически
последовательные приближения представляют
собой кривые
,
проходящие через общую точку
.
Рис. 9.2.
Доказано, что при выполнении условия Липшица
последовательные приближения
на некотором достаточном малом отрезке
имеют смысл и равномерно сходятся,
причем предельная функция
удовлетворяет (9.12) и (9.13).
Если правая
часть
уравнения (9.12) определена и непрерывна
в области
,
а
,
то за величину
можно принять
.
(9.16)
Для погрешности приближения
имеем следующую оценку
(9.17)
причем
равномерно на
.
Пример 9.3. Методом последовательных приближений найти приближенное решение дифференциального уравнения
(9.18)
удовлетворяющее начальному
условию
Решение. В
качестве начального приближения возьмем
.
Так как
то
Аналогично
,
и т.д.
Оценим погрешность,
например, четвертого приближения
.
Рассмотрим некоторую область
,
где правая часть уравнения (9.18)
функция
(9.19)
определена и непрерывна.
Так как функция
(9.19) непрерывна во всей плоскости
,
то за
и
могут быть взяты любые положительные
числа. При
имеем
.
Поэтому,
предполагая
,
из формулы (9.16) получаем
.
Выбрав для
определенности
,
будем иметь
.
Константа Липшица для области
в данном случае будет
.
Используя
формулу (9.17) при
,
окончательно получим
.
И, следовательно,
.
Нетрудно заметить, что
И, следовательно,
,
причем сходимость равномерна
на любом отрезке
IX.3. Метод Эйлера
Пусть дано дифференциальное уравнение
(9.20)
с начальным условием .
Выбрав достаточно малый шаг , построим систему равноотстоящих точек
.
Искомую
начальную кривую
,
проходящую через точку
,
приближенно заменяем ломанной
с вершинами
,
звенья которой
прямолинейны между прямыми
и
и имеют подъем
.
(9.21)
Рис. 9.3. Ломаная Эйлера.
Из формулы (9.21) вытекает, что значения могут быть определены (метод Эйлера) по формулам
(9.22)
Метод Эйлера является простейшим методом интегрирования дифференциального уравнения.
Недостатки метода:
малая точность;
систематическое накопление ошибок.
Пример 9.4. Применяя метод Эйлера, составить на таблицу значений интеграла дифференциального уравнения
,
удовлетворяющего
начальному условию
,
выбрав шаг
.
Решение.
Результаты вычислений приведены ниже
в таблице. Для сравнения в последнем
столбце помещены значения точного
решения
.
Из приведенной таблицы видно, что
абсолютная погрешность значения
составляет
.
Отсюда относительная погрешность
приблизительно равна 2,8%.
|
|
|
|
|
Точное значение
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0,1 |
1 |
0,05 |
0,005 |
1,0025 |
2 |
0,2 |
1,005 |
0,1005 |
0,0101 |
1,0100 |
3 |
0,3 |
1,0151 |
0,1523 |
0,0152 |
1,0227 |
4 |
0,4 |
1,0303 |
0,2067 |
0,0206 |
1,0408 |
5 |
0,5 |
1,0509 |
0,2627 |
0,0263 |
1,0645 |
6 |
0,6 |
1,0772 |
0,3232 |
0,0323 |
1,0942 |
7 |
0,7 |
1,1095 |
0,3883 |
0,0388 |
1,1303 |
8 |
0,8 |
1,1483 |
0,4593 |
0,0459 |
1,1735 |
9 |
0,9 |
1,1943 |
0,5374 |
0,0537 |
1,2244 |
10 |
1,0 |
1,2479 |
– |
– |
1,2840 |
