V.2. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа

Будем искать интерполяционный многочлен в виде

(5.5)

Здесь – многочлены степени , так называемые лагранжевы многочлены влияния, удовлетворяющие условию

Последнее условие означает, что любой многочлен равен нулю при каждом , кроме , т. е. – корни этого многочлена. Следовательно, лагранжевы многочлены имеют вид

.

Так как по условию , то

Таким образом, лагранжевы многочлены влияния запишутся в виде

а интерполяционный многочлен (5.5) запишется в виде

(5.6)

Интерполяционный многочлен в форме (5.6) называется интерполяционным многочленом Лагранжа. Перечислим основные достоинства этой формы записи интерполяционного многочлена.

1. Число арифметических операций, необходимых для построения многочлена Лагранжа, пропорционально и является наименьшим для всех форм записи.

2. Формула (5.6) в явном виде содержит значения функций в узлах интерполяции, что бывает удобно при некоторых вычислениях, в частности, при построении формул численного интегрирования.

3. Формула (5.6) применима как для равноотстоящих, так и для неравноотстоящих узлов.

4. Интерполяционный многочлен Лагранжа особенно удобен, когда значения функций меняются, а узлы интерполяции неизменны, что имеет место во многих экспериментальных исследованиях.

К недостаткам этой формы записи можно отнести то, что с изменением числа узлов приходится все вычисления проводить заново. Это затрудняет проведение апостериорных оценок точности (оценок, получающихся в процессе расчета).

Приведем формулы линейной и квадратичной интерполяции по Лагранжу:

(5.8)

(5.9)

Многочлен Лагранжа является в формуле (5.8) многочленом 1-й и в формуле (5.9) – многочленом 2-й степени.

Эти формулы наиболее часто используются на практике.

Пример 5.1. Построить многочлен Лагранжа 2-й степени, исходя из следующих данных:

	1	2	3
	2	5	12

Решение. Воспользовавшись формулой (5.9) имеем:

На одном графике изобразим исходные данные и интерполяционный многочлен Лагранжа:

Рис. 5.2.

V.3. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона представляет собой иную форму записи интерполяционного многочлена. Она имеет ряд достоинств по сравнению с многочленом Лагранжа.

Для вывода введем понятие разделенной разности. Разделенные разности нулевого порядка совпадают со значениями функции в узлах. Разделенные разности первого порядка определяются через разделенные разности нулевого порядка:

,

разделенные разности второго порядка определяются через разделенные разности первого порядка:

Разделенная разность порядка определяется соотношениями

(5.10)

Таким образом, для -й точки могут быть построены разделенные разности до -го порядка; разделенные разности более высоких порядков равны нулю. Из вида разделенных разностей можно сделать заключение, что они являются аналогом производных соответствующих порядков.

Между разделенными разностями и производными соответствующих порядков существует соотношение

Очевидно, что разделенная разность -го порядка от многочлена -й степени равна нулю.

Часто для таблиц с постоянным шагом вводят конечные разности , связанные с разделенными соотношением

.

Приведем вывод формулы интерполяционного многочлена Ньютона. Пусть аппроксимируемая функция – многочлен -й степени. Выберем точки в качестве узлов и найдем такой интерполяционный многочлен, значения которого в узлах интерполяции совпадают со значениями функции .

Запишем, выбирая в качестве узла точку с координатой , очевидные соотношения

(5.11)

Имеем также

(5.12)

Подставляя соотношение (5.12) в (5.11), получаем

.

По определению разделенной разности (5.10) имеем

(5.13)

Подставляя соотношение (5.13) в выражение (5.12), получаем

Продолжая этот процесс, в итоге приходим для интерполяционной функции к многочлену в виде

(5.14)

Запись многочлена в формуле (5.14) является так называемым интерполяционным многочленом Ньютона. Если функция не является многочленом й степени, то для имеет место формула (5.14), однако она приближает функцию не точно, а с некоторой погрешностью. Отметим, что при добавлении новых узлов первые члены многочлена Ньютона остаются неизменными, что видно из сравнения формул (5.11)–(5.14).

Если функция задана в точках , то при построении интерполяционного многочлена Ньютона удобно пользоваться таблицей, называемой таблицей разделенных разностей. Последовательность получения разделенных разностей для числа приведена в таблице:

За точностью расчета удобно следить по убыванию величин членов суммы (5.14). Если величина членов убывает быстро, то оставляют только те из них, которые больше допустимой погрешности. Для повышения точности интерполяции в сумму могут быть добавлены новые члены, что требует подключения дополнительных узлов. При этом безразлично, в каком порядке подключаются новые узлы. Этим формула Ньютона выгодно отличается от формулы Лагранжа, при добавлении в которую новых узлов все расчеты надо производить заново. Интерполяционный многочлен Ньютона удобен при построении формул численного дифференцирования, что очевидно из его структуры.

Приведем формулы линейной и квадратичной интерполяции в соответствии с многочленом Ньютона. Имеем:

(5.15)

(5.16)

Пример 5.2. По исходным данным примера 5.1 построим интерполяционный многочлен Ньютона.

Решение. Имеем

Как видим, интерполяционный многочлен Ньютона совпадает многочленом Лагранжа той же степени. Это есть следствие условия единственности интерполяционного многочлена.