V. Интерполяция и аппроксимация

Для практических приложений важными являются следующие задачи. Первая состоит в замене некоторой функции, заданной аналитически или таблично, другой функцией, близкой к исходной, но более простой и удобной для вычислений. Например, замена функции многочленом позволяет получать простые формулы численного интегрирования и дифференцирования; замена таблицы приближающей функцией позволяет получать значения в ее промежуточных точках.

Возникает также и вторая задача – восстановление функции на некотором отрезке по заданным на этом отрезке значениям функции в дискретном множестве точек. Отметим также, что теория приближения функций является важным вспомогательным аппаратом при численном решении дифференциальных уравнений.

В общем случае при постановке задачи приближения необходимо действовать по следующему алгоритму.

1. Определить, какой класс приближенных функций необходимо выбрать. Ответ на такой вопрос зависит от вида приближаемой функции и целей, для которых в дальнейшем будет использоваться приближающая функция. Широко используются следующие классы функций: многочлены, тригонометрические функции, показательные функции и др.

2. Выбрать критерий близости исходной и приближающей функций. В качестве критерия можно выбрать, например, точное совпадение приближаемой и приближающей функций в узловых точках (лагранжева интерполяция); минимум суммы квадратов отклонения в узловых точках (метод наименьших квадратов) и др. Как и при выборе класса приближающих функций, выбор критерия близости исходной и приближающей функций определяется целью построения приближающей функции и может существенно повлиять на результаты. При аппроксимации экспериментальных результатов целесообразно использовать среднеквадратичное приближение. На рис. 1 показаны два варианта приближения функций: кривая I соответствует лагранжевой интерполяции, а кривая II – среднеквадратичному приближению. Здесь точками обозначены точные значения функции . По рис. 5.1 видно, что кривая II не проходит через узлы интерполяции, а сглаживает расчетные или экспериментальные погрешности.

Рис. 5.1.

3. Необходимо указать правило, позволяющее с заданной степенью точности получить значение функции в промежутках между узлами, в частности, ответить на вопросы, какие узлы использовать для построения приближающей функции и как их расположить.

Таким образом, построение приближающей функции существенно зависит от ответа на перечисленные вопросы.

V.1. Интерполяция

Пусть на отрезке задано дискретное множество несовпадающих точек , которые будем называть узлами и в которых известны значения функции . Потребуем, чтобы приближающая функция совпадала с приближаемой функцией в узлах таблицы, т. е. потребуем выполнения равенства

(5.1)

Этот способ построения приближающей функции, при котором в узлах значения приближаемой и приближающей функций совпадают, называется интерполяцией или лагранжевой интерполяцией. Наиболее распространен способ линейной интерполяции, в случае которой приближающая функция ищется в виде линейной комбинации некоторых базисных функций :

(5.2)

Система функций должна быть линейно независимой, так как в противном случае число членов в сумме можно было бы уменьшить и, кроме того,

Подставляя функцию (5.2) в равенство (5.1), получаем систему линейных уравнений для определения коэффициентов :

В качестве базисных функций можно выбрать любую линейно независимую систему функций, но чаще всего выбираются степенные функции . Это объясняется тем, что многочлены легко вычисляются и теория интерполяции многочленами хорошо разработана. В случае приближения многочленами приближающую функцию ищем в виде многочлена степени :

(5.3)

где нижний индекс указывает на степень интерполяционного многочлена. Подставляя в функцию (5.3) значения узлов и используя условие , получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов :

(5.4)

Определитель системы (5.4) является в случае несовпадения узлов интерполяции отличным от нуля определителем Вандермонда:

Таким образом, решение системы (5.4) существует и единственно. А это значит, что с точностью до формы записи существует единственный интерполяционный многочлен .