VIII.4. Формула Симпсона и ее остаточный член

Из формулы (8.9) при получаем:

Т.к. , имеем:

, (8.14)

– формула Симпсона.

Геометрически эта формула получается в результате замены данной кривой параболой , проходящей через три точки (см. рис. 8.3).

Остаточный член формулы Симпсона равен

Рис. 8.3.

Общая формула Симпсона (параболическая формула).

Применяя формулу (8.14) к каждому удвоенному промежутку длины , будем иметь

(8.15)

– формула Симпсона. Если существует и ограничена на , то для погрешности формулы (8.15), справедлива следующая оценка

(8.16)

где .

Пример 4.3.Вычислить с точностью до 0,0001 по формуле Симпсона.

Решение. По условию задачи, допускаемая погрешность не должна превосходить 0,00001, поэтому число делений в формуле (8.15), найдем, учитывая оценку (8.16), из неравенства

(8.17)

Вычислим для . Т.к. , легко видеть, что эта функция монотонно убывает на . В самом деле, монотонно убывает на , при , а значит функция монотонно убывает на . Следовательно, тем же свойством обладает и , т.к. она отличается на константу от произведения двух монотонно убывающих функций.

На концах отрезка

Значит .Подставляя значения и в неравенство (4.17) получаем неравенство

откуда

Последнее неравенство выполняется для всех . Берем для расчета . Делим отрезок на 10 равных частей точками деления и вычислим соответствующие значения функции . Чтобы обеспечить требуемую точность (0,00001), вычисления производим с пятью знаками после запятой, округляя окончательный результат до четырех знаков.

0	0	1,00000	6		0,6	0,69768
1	0,1	0,99005	7		0,7	0,61263
2	0,2	0,96079	8		0,8	0,52729
3	0,3	0,91393	9		0,9	0,44486
4	0,4	0,85214	10		1,0	0,36788
5	0,5	0,77680

Имеем:

Подставляя полученные результаты в формулу (8.15), получаем

VIII.5. Формулы Ньютона-Котеса высших порядков

Производя соответствующие вычисления при , получим из формулы (8.9) квадратурную формулу Ньютона

(8.18)

(правило трёх восьмых).

Остаточный член формулы (8.18) равен

Приведем таблицу коэффициентов Котеса. Для удобства записи коэффициенты Котеса для каждого представлены в виде дроби с общим знаменателем . Для контроля заметим, что .

										Общий знаме- натель
1	1	1								2
2	1	4	1							6
3	1	3	3	1						8
4	7	32	12	32	7					90
5	19	75	50	50	75	19				288
6	41	216	27	272	27	216	41			840
7	751	3577	1323	2989	2983	1323	3577	751		17280
8	989	5888	-928	10496	-4540	10496	-928	5888	989	28350

Пример 8.4. Вычислить , применяя формулу Ньютона-Котеса с семью ординатами ( ).

Решение. Полагая шаг , составим таблицу значений, где для удобства принято .

0	0	1	41	41
1			216	185,142857
2			27	20,25
3			272	181,333333
4			27	16,2
5			216	117,818182
6	1		41	20,25
				581,994372

Отсюда .

Точное значение .