III.2. Метод простых итераций

Пусть известно, что нелинейное уравнение на имеет единственный вещественный корень . Нужно найти этот корень с заданной точностью. Применяя тождественные преобразования, приведем уравнение (3.1) к виду

. (3.3)

Выберем произвольное значение корня и вычислим . Найденное значение подставим в (3.3) и вычислим . Продолжая процесс вычислений, получим числовую последовательность . Если существует предел последовательности, то он является корнем уравнения (3.1), т.е. .

Корень можно вычислить с заданной точностью по итерационной формуле

(3.4)

Достаточное условие, при котором итерационный процесс сходится, определяет следующая теорема.

Теорема 3.4. Пусть функция определена и дифференцируема на , причем все её значения ,и выполняется условие

(3.5)

тогда процесс итераций (3.4) сходится независимо от начального значения и предельное значение является единственным корнем уравнения (3.3) на .

III.3. Приведение нелинейного уравнения к виду , допускающему сходящиеся итерации

Выполнение условия сходимости можно добиться при переходе от исходного уравнения к эквивалентному виду следующим образом: умножим обе части на , затем прибавим к обеим частям по , получим . Обозначим , тогда . Константа выбирается так, чтобы выполнялось достаточное условие сходимости итерационного процесса (3.5), т.е.

.

Это условие равносильно или

при

и

при . Требуемую точность вычислений можно обеспечить, используя оценки приближения к корню :

1.

2. .

Вблизи корня итерации сходятся примерно также, как геометрическая прогрессия со знаменателем . Чтобы сумма дальнейших членов прогрессии не превосходила , должен выполнятся критерий сходимости: . При выполнении этого условия процесс итераций можно прекращать.

Метод простых итераций имеет два достоинства:

1. является универсальным и самоисправляющимся;

2. позволят достигнуть любой заданной точности при любом начальном приближении .

Недостатки метода:

1. трудность приведения уравнения к виду ;

2. если начальное приближение далеко от корня, то число итераций достаточно большое.

Пример 3.3. Методом итераций найти корни уравнения

Решение. Для нахождения интервала расположения корней воспользуемся графическим методом. Для этого преобразуем исходное уравнение к виду и построим два графика и .

Абсцисса точек пересечения этих графиков является приближенным значением корня . Более точное значение можно получить по итерационной формуле (3.4). Из рис. 3.2. видно, что корень находится на отрезке

Выберем . На концах отрезка функция меняет знак, причем на отрезке .

Рис. 3.2.

Запишем исходное уравнение в эквивалентном виде

где

Выберем . Для получения корня процесс итераций сходится, т.к.

.

Таким образом, рабочая формула метода простых итераций имеет вид

.

III.4. Метод Ньютона (Метод касательных)

Пусть уравнение (3.1) имеет на единственный корень, причем существует на , где . Метод Ньютона служит для уточнения корней нелинейного уравнения в заданном интервале. Его можно рассматривать, как частный случай метода простых итераций, если . Тогда итерационный процесс осуществляется по формуле:

(3.6)

Геометрически (рис. 3.3) этот процесс означает замену на каждой итерации графика кривой касательной к ней в точках .

Рис. 3.3

Достаточное условие сходимости обеспечивается выбором начальной точки . Начальным приближением служит один из концов , в зависимости от того, в каком из них выполняется условие сходимости

(3.7)

При произвольном нулевом приближении итерации сходятся, если

Метод Ньютона рекомендуется применять при нахождении простых действительных корней уравнений (3.1).

Достоинство метода: он обладает высокой скоростью сходимостью, близкой к квадратной.

Недостатки метода:

1. метод Ньютона сходится не при любом начальном приближении, а лишь при том, для которого ;

2. если , то ;

3. если , то .

Последних трудностей можно избежать, применив модификацию метода Ньютона, рабочая формула при этом имеет вид

Геометрически, используя эту формулу, мы заменяем касательные в точке , прямыми параллельными касательной к кривой в точке (см. рис. 3.4).

Рис. 3.4

Пример 3.4. Вычислить методом Ньютона отрицательный корень уравнения с пятью верными знаками.

Решение. Полагая в левой части уравнения , получим: Следовательно, искомый корень находится в интервале . Сузим найденный интервал. Т.к. , то . Так как в этом интервале

то принимаем в качестве начального приближения .

Последовательные приближения вычисляем по схеме

0	-11	3453	-5183	0,7
1	-10,3	134,3	-4234	0,03
2	-10,27	37,8	-4196	-0,009
3	-10,261	0,2	-	-

где .

Останавливаясь на , проверяем знак значения и, следовательно, т.к. , то и любое из этих чисел дает искомое приближение.