II.5. Метод итераций решения слау

При большом числе неизвестных линейной системы схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится сложной, поэтому в этом случае удобно пользоваться приближенными методами. Один из них – метод итераций.

Пусть дана линейная система (2.1), которую также можно представить в эквивалентном виде (2.1а). Предполагая, что диагональные коэффициенты , запишем систему эквивалентную системе (2.1):

(2.13)

где при и при .

Введя в рассмотрение матрицы

,

Систему (2.13) запишем в виде

(2.14)

и будем решать ее методом последовательных приближений. За нулевое приближение принимаем, например, столбец свободных членов

.

Далее, последовательно строим матрицы-столбцы:

(первое приближение),

(второе приближение), (2.15)

……………………………………………..,

Если последовательность приближений имеет предел , то этот предел и является решением системы (2.13).

Напишем формулы приближений в развернутом виде:

(2.16)

Заметим, что иногда выгоднее приводить систему (2.1) к виду (2.13) так, чтобы коэффициенты . Например, уравнение

для применения метода последовательных приближений естественно записать в виде

.

Вообще, имея систему

,

можно положить , где . Тогда заданная система эквивалентна приведенной системе

где при . Поэтому в дальнейшем мы не будем считать, что . Метод последовательных приближений, определяемый формулами (2.15) и (2.16) носит название метода итераций. Процесс итерации (2.16) хорошо сходится, т.е. число приближений, необходимых для получения корней системы (2.1) с заданной точностью невелико, если элементы матрицы малы по абсолютной величине, т.е. для успешного применения процесса итерации модули диагональных коэффициентов системы (2.1) должны быть велики по сравнению с модулями недиагональных коэффициентов этой системы (свободные члены роли не играют).

Приведем достаточные условия сходимости процесса итерации.

Теорема 2.2. Если для приведенной системы (2.13) выполнено по меньшей мере одно из условий

1.

или

2. ,

то процесс итерации (2.15) сходится к единственному решению этой системы независимо от выбора начального приближения.

Следствие. Для системы

метод итерации сходится, если выполнены неравенства

Пример 2.3. Решить систему методом итерации.

(2.17)

Решение. Диагональные коэффициенты 4, 3, 4 значительно преобладают над остальными коэффициентами при неизвестных. Приведем систему к виду (2.13)

(2.18)

В матричной записи система (2.18) имеет вид

За нулевое приближение системы (2.17) принимаем

Подставляя эти значения в правую часть (2.18) получим первые приближения корней:

Далее, подставляя в (2.18), получим вторые приближения корней:

После третьей подстановки будем иметь третье приближение корней:

и т.д.

Результаты помещаем в таблицу:

0	2	3	5
1	1,92	3,19	5,04
2	1,9094	3,1944	5,0446
3	1,90923	3,19495	5,04485