Контрольные вопросы

1. Виды погрешностей.

2. Принцип А.Н. Крылова.

3. Правила действий над приближенными числами.

4. Примеры неустойчивых задач.

5. Пример неустойчивости метода.

II. Системы линейных алгебраических уравнений

II.1. Основные понятия и определения

Приведем некоторые сведения из линейной алгебры, которые потребуются в дальнейшем. Рассмотрим прямоугольную матрицу

.

Две матрицы и размерности равны друг другу, если для всех и .

Сумма двух матриц и размерности есть матрица размерности :

.

Произведение матрицы на скаляр есть матрица размерности :

.

Введем обозначение . Произведение матрицы размерности на матрицу размерности есть матрица размерности :

.

Таким образом, элемент матрицы есть сумма произведений -й строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы , при этом число столбцов матрицы должно равняться числу строк матрицы . Из существования произведения вовсе не следует существование произведения . Для квадратных матриц ( ) одного порядка существуют матрицы и , но, вообще говоря, .

Определитель (детерминант) квадратной матрицы будем обозначать (или ):

.

Определитель квадратной матрицы с элементами (действительными или комплексными числами ) есть сумма членов вида :

,

где – алгебраическое дополнение элемента .

Важным частным случаем квадратной матрицы является диагональная матрица

.

При матрица называется единичной и обозначается через .

Матрица называется нижней треугольной, если все ее элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю:

.

Аналогично определяется верхняя треугольная матрица. Квадратная матрица называется симметричной, если ее элементы удовлетворяют соотношению ( , ). Если в матрице поменять строки со столбцами, то получим транспонированную матрицу

Квадратная матрица симметрична, если .

Матрица называется обратной матрице , если . Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является условие . Говорят, что в этом случае матрица несобственная, или невырожденная.

Минором порядка матрицы называется определитель -го порядка, составленный из элементов, которые находятся на пересечении строк и столбцов матрицы . Рангом матрицы называется число такое, что все миноры порядка и выше равны нулю.

Действительная матрица называется ортогональной, если ее транспонированная матрица совпадает с обратной, т. е. или . Все собственные значения ортогональной матрицы по модулю равны единице. Строки (столбцы) ортогональной матрицы попарно ортогональны, суммы квадратов элементов каждой строки (столбца) ортогональной матрицы равны единице, определитель ортогональной матрицы равен ; если матрица ортогональна, то и матрица тоже ортогональна.

Всякая симметричная действительная матрица может быть приведена к диагональному виду подобным преобразованием

,

где – ортогональная матрица, – диагональная матрица. Из свойств ортогональной матрицы следует, что

.