VII.3. Формулы приближенного дифференцирования, основные на формуле Стирлинга
В
предыдущем пункте формулы численного
дифференцирования для функции
в точке
,
обладают тем недостатком, что он
использует лишь односторонние значения
функции при
/
Большую точность имеют формулы,
учитывающие значения данной функции
как при
,
так и при
.
Эти формулы называются центральными
формулами дифференцирования.
Возьмем за основу интерполяционную формулу Стирлинга.
Пусть
– система равноотстоящих точек с шагом
и
– соответствующие значения данной
функции
.
Полагая
и заменяя приближенно функцию
интерполяционным полиномом Стирлинга,
будем иметь:
где для краткости введены обозначения
и т.д.
Учитывая,
что
,
получим:
(7.8)
и
(7.9)
В
частности, полагая
,
будем иметь:
;
(7.10)
(7.11)
Пример
7.3. Найти
и
для функции
,
заданной таблично
|
|
|
|
|
|
0,96 0,98 1,00 1,02 1,04 |
0,7825361 0,7739332 0,7651977 0,7563321 0,74733390 |
-0,0086029 -0,0087355 -0,0088656 -0,0089931 |
-0,0001326 -0,00013301 -0,0001275 |
0,000025 0,0000026 |
0,0000001 |
Решение. Составляя разности функции (см. таблицу) и используя подчеркнутые члены, на основании формулы (7.10) будем иметь
Для
проверки заметим, что табулированная
функция есть функция Бесселя нулевого
порядка
Известно,
что
Аналогично, используя дважды подчеркнутые члены и применяя формулу (7.11), будем иметь
Для сравнения точное значение
VII.4. Контрольные вопросы
Постановка вопроса о приближенном дифференцировании.
Формула вычисления
в случае замены функции
интерполяционным полиномом Ньютона.Записать формулу для вычисления
.Формула вычисления
в случае замены функции
интерполяционным полиномом Ньютона.Формула для вычисления
.Вид погрешности при вычислении
.Формулы приближенного дифференцирования, основанные на интерполяционной формуле Стирлинга.
VII.5. Задачи для самостоятельного решения
Функция задана таблично. Найти:
а) с помощью интерполяционной формулы Ньютона ;
б) с
помощью формулы Стирлинга
1.
|
0,45 |
0,46 |
0,47 |
0,48 |
0,49 |
|
0,4653 |
0,4764 |
0,4875 |
0,4966 |
0,5098 |
Ответ: а) 1,1030. б) 1,1125.
2.
|
0,50 |
0,51 |
0,52 |
0,53 |
0,54 |
|
1,1276 |
1,1329 |
1,1383 |
1,1438 |
1,1494 |
Ответ: а) 0,5211. б) 0,5438.
3.
.
|
0,55 |
0,56 |
0,57 |
0,58 |
0,59 |
|
0,5005 |
0,5080 |
0,5154 |
0,5227 |
0,5299 |
Ответ: а) 0,7495. б) 0,7344.
4.
|
0,60 |
0,61 |
0,62 |
0,63 |
0,64 |
|
0,5646 |
0,5729 |
0,5810 |
0,5891 |
0,5972 |
Ответ: а) 0,5370. б) 0,5511.
5.
|
0,65 |
0,66 |
0,67 |
0,68 |
0,69 |
|
0,7961 |
0,7900 |
0,7838 |
0,7776 |
0,7712 |
Ответ: а) –0,6052. б) –0,6210.
6.
|
0,70 |
0,71 |
0,72 |
0,73 |
0,74 |
|
0,8423 |
0,8595 |
0,8771 |
0,8949 |
0,9131 |
Ответ: а) 1,7096. б) 1,7712.
7.
|
1,8 |
1,9 |
2,0 |
2,1 |
2,2 |
2,3 |
2,4 |
2,5 |
|
1,44013 |
1,54722 |
1,67302 |
1,81973 |
1,98970 |
2,18549 |
2,40978 |
2,66557 |
Ответ: а) 1,42249. б) 1,87640.
8.
|
1,0 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
1,7 |
|
1,0083 |
1,1134 |
1,2208 |
1,3310 |
1,4449 |
1,5634 |
1,6876 |
1,8186 |
Ответ: а) 1,0704. б) 1,1698.
9.
|
2,8 |
2,9 |
3,0 |
3,1 |
3,2 |
3,3 |
3,4 |
3,5 |
|
3,92847 |
4,41016 |
4,93838 |
5,51744 |
6,15213 |
0,84782 |
7,61045 |
8,44671 |
Ответ: а) 5,63133. б) 7,34833.
10.
|
0,75 |
0,80 |
0,85 |
0,90 |
0,95 |
1,00 |
1,05 |
1,10 |
|
0,2803 |
0,3186 |
0,3592 |
0,4021 |
0,4472 |
0,4945 |
0,5438 |
0,5952 |
Ответ: а) 0,8077. б) 0,9914.
11.
|
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
1,7 |
1,8 |
|
0,8802 |
0,9103 |
0,9340 |
0,9523 |
0,9661 |
0,9764 |
0,9838 |
0,9891 |
Ответ: а) 0,1873. б) 0,0741.
12.
|
1,25 |
1,26 |
1,27 |
1,28 |
1,29 |
|
1,6019 |
1,6209 |
1,6400 |
1,6593 |
1,6788 |
Ответ: а) 1,8884. б) 1,9208.
13.
|
1,45 |
1,46 |
1,47 |
1,48 |
1,49 |
|
2,2488 |
2,2691 |
2,2896 |
2,3103 |
2,3312 |
Ответ: а) 2,0143. б) 2,0597.
14.
|
1,50 |
1,51 |
1,52 |
1,53 |
1,54 |
|
0,9975 |
0,9982 |
0,9987 |
0,9992 |
0,9995 |
Ответ: а) 0,0707. б) 0,0508.
15. Вычислить значения и в указанной точке .
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
5 |
21 |
55 |
113 |
201 |
Ответ:
а)
.
б)
.