Добавил:

darkl0rd Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

Основы теории колец

Файл:

otksp_STZI_press для диска

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.12.2019

Размер:

17.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 5520 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Складемо рівняння частотних характеристик:

(ω) =

; ϕ

(ω) = −arctg

ωRC

;

−ω2LC)2

+(ωRC)2

1−ω2LC

Re[HU (ω)]=

1−ω2LC

; Im[HU

(ω)]= −

ωRC

−ω2LC)2 +(ωRC)2

−ω2LC)2 +

(ωRC)2

Підставимо параметри кола у здобуті вирази і запишемо співвідношення для розрахунку частотних характеристик в функції частоти f :

HU ( f ) =1/ (1−4π2 f 21,75 10−6 4 10−10 )2 +(2π f 5 4 10−10 )2 ;

ϕU	( f ) = −arctg			2π f 5 4 10−10		;
				−4π2 f	21,75 10−6 4 10−10
			1
Re[HU ( f )]=			1−4π2 f 2		1,75 10−6 4 10−10			;
		(1 −4π2 f 21,75 10−6			4 10−10 )2 +(2π f 5 4 10−10 )2

Im[HU ( f )]= −				2π f 5 4 10−10					.
			−4π2 f 2 1,75 10−6		4 10−10 )2 +(2π f 5		4 10−10 )2
	(1

Результати розрахунків частотних характеристик подамо графічно (рис.4.7).

HU(f)								7	Im[HU (f )]		Re[HU (f )]
	12							7
	12
a	8							0					f, МГц
a							в	3					f, МГц
	4						в	3
	4							8
								8
	0					f, МГц		13 0
	0	2	4	6	8	f, МГц		13 0	2	4	6	8	10
ϕU(f)
	0					f, МГц			Im[HU (jf)]		f→		f = 0
						f, МГц			Im[HU (jf)]		f→		f = 0
	−1						0						Re[HU (f )]
б	−1												Re[HU (f )]
б											ϕU(f)
	−2						−4				ϕU(f)
							−4
	−3					г				HU(f)
							−8			HU(f)
							−8
	Рисунок 4.7 – Графіки для HU ( f )						−12
	у прикладі 4.2: а – АЧХ; б – ФЧХ;						−12
	у прикладі 4.2: а – АЧХ; б – ФЧХ;
	в – Re [HU ( f )] і Im [HU				( f )]; г – АФХ			8	4	0		4	8
								8	4	0		4	8
Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1													191

Приклад 4.3. На рис.4.8,а зображена електрична принципова схема пристрою захисту телефонних ліній від несанкціонованого зняття акустичної інформації. Схема складається з двох послідовно увімкнених функціональних вузлів: П-подібного ФНЧ та амплітудного дискримінатора у вигляді зустрічно-паралельного увімкнення діодів. Перший вузол призначений для запобігання витоку інформації внаслідок мікрофонного ефекту (перетворення акустичних коливань в електричні) викличного електромеханічного пристрою телефонного апарату, другий – для протидії зняття інформації методом ВЧ нав’язування.

Розрахувати АЧХ і ФЧХ П-подібного ФНЧ (рис.4.8,б). Визначити загасання кола на частотах звукового діапазону (300–3400 Гц) і на граничних частотах діапазону ВЧ нав’язування 200 кГц та 1 МГц. Параметри фільтра: C1 =C2 = 22 нФ,

L =1,5 мГн, RТА = 600 Ом.

	uвих					IL	e(t)
1,5 мГн		RТА	C	2	L	C	uвх
				2		1
22 нФ					б
	телефонна лінія				б
	телефонна лінія	HU (ω)
	2,5	HU (ω)
22 нФ	2
22 нФ	1,5
	1,5
	1
1,5 мГн	0,5
1,5 мГн	0
	0

1	0	0	1000			00	0		0		ц
	1	10		0		00	10000	0		Г
		10		0				10000		f,
	в			1	0			10000
					0

Рисунок 4.8 – Пристрій захисту телефонних ліній:

а – принципова схема пристрою; б – схема ФНЧ; в – графік АЧХ ФНЧ

Розв’язання.

Запишемо вираз для комплексного коефіцієнта передачі фільтра за напругою:

I L

RТА / jωC2

+1/ jωC

HU (ω) =

вих

ТА

RТА / jωC2

RТА(1 −ω2LC2 ) + jωL

U вх

I L ( jωL +

)

RТА +1/ jωC2

Складемо рівняння амплітуднота фазочастотної характеристик:

HU	(ω) =		RТА			; ϕU (ω) = −arctg	ωL	.
		R2	(1−ω2LC	)2			RТА(1−ω2LC2 )
					+(ωL)2
		ТА	2
Обчислимо значення коефіцієнта передачі на частотах звукового діапазону та
граничних	частотах		діапазону		ВЧ нав’язування: HU (300) = HU (3400) =1;

HU (2 105 ) = 0,02 ; HU (106 ) = 0,0008 . З результатів розрахунку та графіку АЧХ фі-

льтра (рис.4.8, в) виходить, що коливання з частотами звукового діапазону повністю пропускаються, а коливання ВЧ діапазону ослаблюються фільтром до безпечного

192	Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін.

рівня. В даному прикладі розглянуто ідеальне джерело синусоїдної напруги e(t) . Для реального джерела, що має внутрішній опір Ri , ступінь ослаблення ВЧ коливань збільшиться. Пропонується довести цей висновок самостійно.

4.2 Вибірні властивості електричних кіл. Смуга пропускання

Згідно з виразом (4.4) амплітуди відгуку кола Fmвих і дії Fmвх пов’язані

через АЧХ: Fmвих = H (ω)Fmвх .

Якщо H (ω) = 0 , відгук відсутній за будь-якої амплітуди дії (коло «не пропускає» вхідне коливання), оскільки Fmвих =0 .

Якщо H (ω) ≠ 0 , амплітуда відгуку тим більша, чим більше значення АЧХ

для частоти дії. Якщо АЧХ залежить від частоти (рис.4.2, а, 4.4, в, 4.7, а), коло має вибірні властивості.

Вибірність, або селективність, − це влаcтивість кола з набору коливань різних частот виділяти («пропускати») коливання одних і «не пропускати» коливання інших частот.

Якщо АЧХ не залежить від частоти, коло не є вибірним. Вибірні властивості кіл характеризують величиною ослаблення:

	Hmax			Hmax
A(ω) =		>1;	A(ω), дБ= 20 lg		>0 ,

	H (ω)
				H (ω)

де Hmax – максимальне значення АЧХ, а також смугою пропускання (СП) і коефіцієнтом прямокутності АЧХ.

Смуга пропускання − це діапазон частот, у межах якого АЧХ H (ω) зменшується не більше, ніж у задане число разів n порівняно з максимальним значенням Hmax . Інакше, СП − це смуга частот, в межах якої ослаблення менше певного значення: A(ω) ≤ n . СП прийнято позначати Πω або Π f залежно від


одиниць вимірювання частоти (рад/с або Гц).
Граничні частоти СП є розв’язком будь-якого з рівнянь:
H (ω) =	Hmax	; A(ω) =	Hmax	= n ; Hнорм(ω) = H (ω) =		1 ,	(4.8)

	n		H (ω)		Hmax	n
де Hнорм(ω) – АЧХ, нормована до максимального значення Hmax .
Як рівень відліку СП прийняте значення n =					2 , що відповідає зменшен-

ню потужності коливань на границях СП (саме таку мінімальну зміну потужності звукових коливань відчуває людське вухо) порівняно з максимальним значенням. Рівняння для розрахунку граничних частот СП виглядатимуть так:

H (ω) =	Hmax ≈	Hmax ≈ 0,707Hmax ; Hнорм(ω) =		H (ω) =	1		≈ 0,707;	(4.9)
					2
	2	1,41		Hmax
Hнорм(ω), дБ= 20 lg0,707 = −3 дБ;			A(ω) = Hmax / H (ω) =			2 ≈1,41.


Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1	193

Залежно від форми АЧХ кількість граничних частот СП може бути різною (рис.4.9). На рис.4.9, а, б показані АЧХ з одною граничною частотою ωгр ( fгр ).

Максимальне значення цих АЧХ відповідає граничним значенням частот ω= 0 (рис.4.9, а) і ω→∞ (рис.4.9, б). Очевидно, у першому випадку Πω = ωгр

(Πf = fгр), а у другому – Πω →∞ (Π f →∞).

На рис.4.9, в показані різні за формою АЧХ (криві 1 і 2), у яких збігаються граничні частоти СП ωгр1 і ωгр2 і тому смуга пропускання однакова:

Πω =ωгр2 −ωгр1; Πf = fгр2 − fгр1 .

(4.10)

На рис.4.9, г зображена АЧХ, що має чотири граничні частоти і дві СП:

Π′ω =ω′гр2 −ω′гр1; Π′′ω = ω′′гр2 −ω′′гр1 ; Π′f = fгр′ 2 − fгр′1 ; Π′′f = fгр′′2 − fгр′′1 .

Смуга пропускання, хоча і є важливим показником вибірності, однак не дозволяє досить повно порівнювати міру послаблення коливань, частоти яких лежать в межах і за межами СП.

Щоб визначити монотонність АЧХ, вводиться коефіцієнт нерівномірності ослаблення у смузі пропускання, який оцінюється максимальним значенням ос-

лаблення A(ω)max ≤ 2 (рис.4.9, в, графік 1) в межах СП. При цьому значения ослаблення на границях смуги A(ω) = 2 не враховуються.

Щоб оцінювати вибірні властивості кіл з однаковою СП, їх АЧХ порівнюють з ідеальною прямокутною характеристикою (на рис.4.9, в позначена штрихуванням), яка не змінює амплітуду вихідних коливань у порівнянні з вхідними для частот у межах СП ( A(ω) =1) і ослаблює коливання, частоти яких

лежать за межами смуги ( A(ω) →∞). Для кількісної оцінки прямокутності АЧХ реальних кіл використовують коефіцієнт прямокутності, який розраховується як відношення СП на рівні n1 >> 2 (практично використовують одне із значень 10, 100 або 1000) і на стандартному рівні n = 2 :

kпр=	Πω	n >> 2			Πf	n >> 2
		1		=		1		.	(4.11)

	Πω		n= 2		Πf		n= 2

Для ідеальної АЧХ коефіцієнт прямокутності дорівнює одиниці. У реальних кіл форма АЧХ відрізняється від ідеальної і kпр >1. При однакових значен-

нях СП і n1 >> 2 вибірнішим є коло, у якого kпр менше. Тому з двох АЧХ

(рис.4.9, в) кращу вибірність забезпечує характеристика 1.

Коефіцієнт прямокутності можна визначити тільки для кіл, у яких АЧХ монотонно зменшується до нуля за межами СП: A(ω) →∞. Цій умові задо-

вольняють характеристики, зображені на рис.4.9, а, б, в.

Кола R, C та R, L мають однобічну вибірність в області низьких або високих частот (рис.4.9, а, б). Щоб забезпечити вибірність в діапазоні частот поблизу резонансної частоти, використовують кола R , L , C . Аналізу резонансних режимів та вибірних властивостей цих кіл присвячено матеріал даного розділу.

194	Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін.

H (ω)

Hmax

Hmax / 2

Πω( Π f )

0	ω( f )
ωгр ( fгр )

H (ω)

Hmax

Hmax / 2

Πω → ∞( Π f →∞)

H (ω)	0	ωгр ( fгр )	ω( f )
		ωгр ( fгр )	ω( f )

Hmax		Πω (Π f )
Hmax
Hmax / 2	A(ω)max
Hmax / 2	1	Π′ω n >>
	1	Π′ω n >>	2
в	2	1
	2	Π′ω′

			n >> 2
H max / n1			1
H max / n1
0		ωгр1( fгр1 ) ωгр2 ( fгр2 )	ω( f )
Hmax

Hmax/ 2

г		Πω' ( Π'f )					Πω'' ( Π''f )

0	1( fгр' 1)	ωгр'	2 ( fгр'		ωгр''	1( fгр'' 1) ωгр''	2 ( fгр''	2 ) ω( f )
ωгр'				2 )

Рисунок 4.9 – Різновиди АЧХ і смуг пропускання


Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1	195

Приклад 4.4. Визначити СП кіл, розглянутих у прикладі 4.1. Оцінити коефіцієнт прямокутності АЧХ для різних значень n1 >> 2 .

Розв’язання. Використовуючи вираз (4.6) для АЧХ і враховуючи максимальне значення HU max =1, а також співвідношення (4.9), складемо рівняння для визначен-

ня граничних частот СП:

HU (ω) =	1	=	1 .	(4.12)
1	+(ωτ)2		2

Розв’язуючи рівняння (4.12), знаходимо два значення граничної частоти, з яких тільки додатне має фізичний зміст: ωгр =1/τ .

Оскільки максимальне значення АЧХ відповідає частоті ω= 0 , запишемо вираз для СП у вигляді: Πω = ωгр =1/τ .

Визначимо Πω

n >>

2 та знайдемо kпр

за формулою (4.11):

Πω

n1 >>

(ω) =

, звідки Π

n >>

= ω

≈

1 ; k

пр

≈ n .

(ωτ)

гр1

Πω

n= 2

Отже, значення коефіцієнта прямокутності АЧХ даних кіл збігається з рівнем

відліку n1 >> 2 .

На графіку АЧХ (рис.4.10, а) позначимо отримані СП на стандартному рівні

n = 2 і на рівні

n1 >>

2 , а на графіку АФХ (рис.4.10, б)

накреслимо жирною

лінією ділянку, що відповідає частотам СП.

0,7

1/n1 0

HU (ω)			Im[HU (ω)]
Πω			ω→∞	ω=0
Πω			0		Re[HU (ω)]
		ωгр1 ≈ n1/τ	ϕU (ωгр)=−π/4		Re[HU (ω)]
			0,7		ω
ωгр =1/τ	а	ω	ωгр
ωгр =1/τ	а	ω

Рисунок 4.10 – Графіки, що ілюструють параметри вибірності кіл

уприкладі 4.4: а – АЧХ; б – АФХ

4.3Послідовний коливальний контур. Схеми контуру. Резонансний режим. Вторинні параметри. Резонансні криві

Коливальними називаються кола, в яких можливе явище резонансу напруг або струмів.

Послідовний коливальний, або резонансний, контур складається з котушки індуктивності та конденсатора, з’єднаних послідовно з джерелом напруги.

196	Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін.

На рис.4.11, а схеми заміщення котушки і конденсатора обведені пункти-

ром.

Коливальний контур винайдений німецьким фізиком Брауном3. На початку розвитку радіотехніки значний внесок в теорію і практику коливальних систем зробив Мандельштам4.

E	R	i	RL	L	C	RC′
		i

Ri	RL		L	R	L
E		C	RC	E	C
E					C
б			в
б			в
	Рисунок 4.11 – Схеми послідовного коливального контуру
Схема	заміщення	котушки індуктивності		представлена	послідовним

з’єднанням ідеальних елементів RL і L , які мають певне фізичне значення: опір RL характеризує втрати енергії в котушці і дорівнює десяткам або одиницям

Ом, а L − це індуктивність котушки. Еквівалентна схема конденсатора − це паралельне з’єднання ємності С і опору витікання RС′ , який враховує втрати

енергії від струмів зміщення в ізоляції конденсатора. Опір RС′ може перевищувати сотні кілоом. Оскільки для запису рівнянь така схема не досить зручна, доцільно перетворити паралельне з’єднання RС′ і С у послідовне − з параметрами RС і С (рис.4.11, б). Причому ємність С залишається майже незмінною, а

3Браун Карл Фердинанд, Braun (1850–1918) – професор фізики Страсбурзського університету. В 1897 р. створив електронно-променеву трубку. В 1898 р. винайшов коливальний контур з малим загасанням. Виготовив кристалічний детектор для перших радіоприймачів, винайшов декілька типів антен і запропонував багато технічних удосконалень, які сприяли розвитку радіозв’язку. В 1909 р. Гіль’єрмо Марконі та Фердинанду Брауну присуджено Нобелівську премію з фізики за створення безпроводового телеграфу. (На жаль, роботи російського фізика О.С. Попова, який в 1895 р. оприлюднив, але не запатентував результати своїх досліджень щодо можливості передачі повідомлень за допомогою електромагнітних хвиль, не потрапили у поле зору Нобелівського комітету).

4Мандельштам Леонід Ісаакович (1879–1944) – фізик, дійсний член АН СРСР; на-

родився в Одесі. Вчився, а потім працював у Страсбурзі з К.Ф. Брауном до 1918 р. Приймав участь у дослідженнях і розробках радіопристроїв у фірмі «Сименс и Гальске». Основні праці належать до радіофізики, теорії коливань і оптики.


Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1	197

опір RС буде тим менше, чим більше RС′ . Якщо послідовно з’єднані опори Ri , RL і RС замінити сумарним опором втрат R = Ri + RL + RC , виходить узагаль-

нена схема коливального контуру,

параметри якого R ,

L ,

C називаються пер-

винними (рис.4.11, в).

За законом Ома комплексне діюче значення струму в схемі (рис.4.11, в)

I = Ie

jψ

j(ψ

−ϕ)

(4.13)

R + j(ωL −1/ ωC)

R + jX

де X = X L − X C − реактивний опір контуру;

Z =

R2 + X 2

– повний опір

контуру; ϕ = arctg(X / R) – аргумент комплексного опору контуру.

Частотні залежності реактивного опору і його складових ( X L , − X C , X )

показані на рис.4.12, а. Точка, в якій X (ω) = 0 , відповідає умові резонансу. Час-

тота, що задовольняє цій умові, є резонансною:

X (ωpез) = 0 ,

ωpезL −1/ ωpезC = 0,

звідки

ωрез =

або

fрез =

1 .

(4.14)

2π

X < 0

X L

X > 0

ωрез

− XC

рез

ϕ(ω)

π/2

ωрез

−π/2

Рисунок 4.12 – Графіки частотних залежностей:

а – реактивного опору і його складових; б – модуля реактивного опору; в, г – модуля і аргументу комплексного опору

198	Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін.

Період коливань і довжина хвилі для резонансної частоти становлять:

T	=1/ f	pез	= 2π LC (формула Томсона5); λ	= cT = c / f	pез	= c2π LC ,
рез			pез	рез
де c − швидкість поширення електромагнітних хвиль.
У діапазоні від 0 до ωрез реактивний опір контуру від’ємний, що відпові-
дає його ємнісному характеру. У діапазоні від ωрез				до ω→ ∞, реактивний опір

додатний і, отже, має індуктивний характер.

Частотна залежність повного опору відповідно до (4.13) показана на

рис.4.12, в. Форма кривої Z близька до кривої	X	(рис.4.12, б), оскільки саме
модуль X визначає повний опір при відході від резонансної частоти. Повний
опір на резонансній частоті є активним:
Zрез = R ,		(4.15)

що відповідає відсутності фазового зсуву між зовнішньою напругою і струмом у колі (такий резонанс є фазовим):

ϕ(ωрез) =0.

(4.16)

Слід звернути увагу на те, що для ω= ωрез повний опір є мінімальним.

Графік залежності аргументу комплексного опору від частоти (рис.4.12, г) визначається частотною залежністю X (ω) .

Частотна залежність діючого (амплітудного) значення струму називається резонансною кривою (рис.4.13). З формули (4.13) випливає, що частотна залежність величини I обернено пропорційна частотній залежності повного опору (рис.4.12, в). При резонансі діюче (амплітудне) значення струму досягає

максимуму:
Iрез = E / R ;	Imрез = Em / R ,	(4.17)

що є ознакою амплітудного резонансу.

Частота амплітудного резонансу струму збігається з частотою фазового резонансу.

Практично настроїти контур в резонанс можна, змінюючи частоту, ємність або індуктивність. Залежності діючого (амплітудного) значення струму від ємності або індуктивності називають настроювальними кривими. Ці криві досягають максимуму при резонансі.

Згідно з умовою резонансу X = 0 значення реактивних опорів індуктивності та ємності дорівнюють одне одному і називаються характери-

стичним опором контуру ρ:

ρ = ωрезL =1/ ωрезC .

(4.18)

5 Томсон Уільям, Thomson (1824–1907) – англійський фізик. Більше 50 років керував кафедрою теоретичної фізики університету в Глазго. За наукові заслуги отримав титул лорда Кельвіна за назвою річки в цьому місті. Зробив внесок в термодинаміку, теорію електричних коливань, математичну фізику. Зробив низку винаходів і удосконалень в телеграфії та вимірювальній техніці. Запропонував термодинамічну температурну шкалу, одиниця виміру в якій отримала назву – кельвін (K).


Основи теорії кіл, сигналів та процесів в СТЗІ. Ч.1	199

Якщо у формулу (4.18) підставити вираз (4.14), виходить значення характеристичного опору, який визначається первинними параметрами контуру:

ρ =	L .	(4.19)
	C	fрез не переви-
Характеристичний опір становить одиниці кілоом, якщо		fрез не переви-

щує сотні мегагерц.

I				Im	U Lрез		U C рез
Iрез					U Lрез		U C рез
Iрез
		E
		R			E =U Rрез		I рез
					E =U Rрез		I рез
0	ωрез	ω			0		Re
0	ωрез	ω
Рисунок 4.13 – Графік резонансної				Рисунок 4.14 – Векторна діаграма струмів
кривої струмупослідовного контуру				і напруг уконтурі при резонансі
	На резонансній частоті комплексні значення струму і напруг на елементах
контуру становитимуть:		I рез = E / R ; U Rрез = E ;
		I рез = E / R ; U Rрез = E ;
	U Lрез = jωрезLI рез = j		ρ	E ; U C рез = − j		1	I рез = − j ρ E . (4.20)
			R			ωрезC	R

Ці векторні величини зображені на діаграмі (рис.4.14) і відповідають рівнянню, складеному за другим законом Кірхгофа для ω= ωрез:

E =U Rрез +U Lрез +U C рез .

Як виходить з діаграми і співвідношень (4.20), при ω= ωрез напруга на опорі U Rрез дорівнює значенню E і збігається за фазою зі струмом I , а напруги на реактивних елементах протилежні за фазою і рівні між собою за модулем:

UC рез =

E =

E ; ULрез =

ωрезL

E =

E .

ωрезCR

Оскільки URрез = RIрез = E , напруга на зовнішніх затискачах кола при ре-

зонансі збігається з напругою на опорі.

Вирази для UC рез і ULрез

мають однаковий коефіцієнт перед E , який по-

значається літерою Q і називається добротністю контуру:

Q =

ωрезL

(4.21)

ωрезCR

200	Ю.О.Коваль, І.О.Милютченко, А.М.Олейніков та ін.

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 5520 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>