10. Наивероятнейшее число появления событий

О.1. Наивероятнейшим числом появления события А в n независимых испытаниях называется число m₀, для которого вероятность, соответствующая этому числу, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события А.

По определению . Из первого неравенства . Отсюда , или . Тогда . Из второго неравенства имеем . Или , или , .

Объединяя, получаем, что наивероятнейшее число удовлетворяет неравенству .

Так как длина интервала, определяемого неравенством, равна единице , а событие может произойти в п испытаниях только целое число раз, то следует иметь в виду, что:

1) если - целое число, то существуют два значения наивероятнейшего числа, а именно и ;

2. если - дробное число, то существует единственное целое число удовлетворяющее полученному неравенству.

Пример 14. Отдел технического контроля проверяет партию из 20 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,88. Найти наивероятнейшее число деталей, которые будут признаны стандартными.

Решение. По условию задачи имеем п=20; р=0,88;

q=1-p=0,12. Подставляя в неравенство, получим или . Единственное целое число, принадлежащее этому интервалу, 18. Следовательно, наивероятнейшее число стандартных деталей в партии 18.

11. Локальная теорема Муавра-Лапласа

При большом числе испытаний пользоваться формулой Бернулли достаточно трудно. Поэтому при большом числе испытаний ( ) пользуются локальной теоремой Муавра-Лапласа.

Т. Если вероятность р наступления события А в п независимых испытаниях постоянна и отлична от нуля и единицы, то при условии, что число испытаний достаточно велико, вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно m раз, приблизительно равна ,

где - табулированная чётная функция (см. приложение таблица 1).

Пример 15. Вероятность того, что станок-автомат произведёт стандартную деталь, равна р=0,9. Найти вероятность того, что из 900 изготовленных стандартными будут 804 детали.

Решение. По условию задачи имеем п=900; m=804;

q=1-p=0,1, тогда . Подставляя в формулу, получим

.

12. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Т. Если производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, для любого интервала справедливо следующее соотношение: , где m-число появлений событий А в п испытаниях; и нечётная табулированная функция (см. приложение таблица 2).

Пример 16. Известно, что при контроле бракуется 10% деталей. Для контроля отобрано 500 изделий. Найти вероятность того, что число годных деталей окажется в пределах от 460 до 475.

Решение. По условию задачи n=500; p=0,9; q=0,1; a=460; b=475. Подставляя в формулу, получаем

13. Формула Пуассона.

Значения вероятностей, получаемых по локальной теореме Муавра-Лапласа, приближаются к значениям, получаемым по формуле Бернулли, тем лучше, чем больше п и меньше p или q, однако это не имеет места, если наряду с увеличением п одна из величин p или q стремится к нулю. В этом случае вместо формулы Бернулли используют формулу Пуассона, которая имеет вид

, где .

Пример 17. Вероятность появления события А в каждом из 250 независимых испытаний равна 0,008. Найти вероятность того, что событие А появится 3 раза.

Решение. Так как по условию задачи вероятность р=0,008 мала, а число испытаний п=250 велико, то используем формулу Пуассона. Найдём . Искомая вероятность равна .