43. Распределение средней арифметической

для выборок из нормальной совокупности.

Распределение Стьюдента

Выборочная средняя, вычисленная по конкретной выборке, есть определённое число. Так как состав выборки случаен, то средняя арифметическая, вычисленная для элементов другой выборки того же объёма из той же генеральной совокупности, определяется числом, как правило, отличным от первого, то есть средняя меняется от выборки к выборке.

Следовательно, выборочную среднюю можно рассматривать как случайную величину, что позволяет говорить о законе распределения выборочной средней. Приведём без доказательства следующую теорему.

Т. Если случайная величина Х подчиняется нормальному закону распределения с параметрами , а - ряд независимых наблюдений над случайной величиной Х, каждое из которых имеет те же характеристики, что Х, то выборочная средняя также подчиняется нормальному закону распределения с параметрами .

Нормированное отклонение подчиняется нормальному закону распределения со средним значением, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Действительно, используя свойства математического ожидания, а также тот факт, что и независимы, имеем:

и

.

Пример 42. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали которая подчиняется нормальному закону распределения. Найти вероятность того, что средняя длина деталей, отобранных случайным образом, отклонится от математического ожидания более чем на 2 мм, если дисперсия случайной величины Х равна мм², а количество деталей в выборке п=16.

Решение. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией или . Найдём вероятность того, что при она равна , следовательно: , то есть практически можно быть уверенным, что наблюдаемая средняя длина детали отклонится от заданной не более чем 2 мм.

Итак, если случайная величина Х имеет нормальное распределение, то нормированное отклонение также подчиняется нормальному закону распределения. Однако дисперсия генеральной совокупности почти всегда оказывается неизвестной, поэтому вызывает большой практический интерес изучение распределения статистики , где - несмещенная и состоятельная оценка дисперсии, вычисленная по выборочным данным. Распределение статистики не зависит ни от математического ожидания случайной величины Х, ни от дисперсии , а лишь зависит от объёма выборки п. Закон распределения статистики называют распределением Стьюдента. Распределение Стьюдента табулировано во всех учебниках по математической статистике.

Из анализа распределения Стьюдента при п>50 видно, что оно мало отличается от нормального.

44. Распределение дисперсии в выборках

из нормальной генеральной совокупности.

Распределение Пирсона

Рассмотрим закон распределения выборочной дисперсии, рассчитанной для наблюдений, взятых из нормальной генеральной совокупности. Так как состав выборки подвержен случайности, то выборочную дисперсию, как и , следует рассматривать как случайную величину и говорить о законе распределения выборочной дисперсии. При анализе распределения выборки следует иметь в виду два случая: 1) математическое ожидание случайной величины известно; 2) математическое ожидание неизвестно.

Случай 1. Предположим, что математическое ожидание случайной величины известно. Условимся считать, что случайная величина Х подчиняется нормальному закону распределения с параметрами , а - ряд независимых наблюдений, каждое из которых подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием и дисперсией . Тогда выборочная дисперсия вычисляется по формуле . Разделим обе части этого равенства на и умножим на п. Имеем . Статистика имеет нормальный закон распределения с параметрами и . Пусть .

Случайная величина, представляющая собой сумму квадратов независимых случайных величин, каждая из которых подчиняется нормальному закону распределения с параметрами , называется случайной величиной с распределением и степенями свободы.

Распределение статистики не зависит ни от математического ожидания случайной величины Х, ни от дисперсии , а зависит лишь от объёма выборки п. Найдём математическое ожидание распределения :

.

Следовательно, математическое ожидание случайной величины с распределением и степенями свободы равно числу степеней свободы. В специальной литературе можно найти доказательство того, что дисперсия распределения равна удвоенному числу степеней свободы. Дифференциальная функция распределения сложна, и интегрирование её является весьма трудоёмким процессом, поэтому составлены таблицы распределения .

Случай 2. Рассмотрим закон распределения выборочной дисперсии, когда математическое ожидание случайной величины неизвестно. Как и прежде, случайная величина подчиняется нормальному закону распределения с параметрами , а - ряд независимых наблюдений, каждое из которых подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием и дисперсией . Тогда дисперсия выборки вычисляется по формуле . Примем без доказательства тот факт, что случайная величина имеет распределение с степенями свободы.