60. Корреляционное отношение
На практике часто предпосылки корреляционного анализа нарушаются: один из признаков оказывается неслучайным, или признаки не имеют нормального распределения. Для изучения связи между ними в этом случае существует показатель зависимости признаков, основанный на показателе изменчивости общей (или полной) дисперсии.
Полной
называется дисперсия признака относительно
его математического ожидания. Так для
признака У
это
.
Дисперсию
можно разложить на две составляющие,
одна из которых характеризует влияние
фактора Х
на У,
другая - влияние прочих факторов.
Очевидно, чем меньше влияние прочих
факторов, тем теснее связь, тем более
приближается она к функциональной.
По
выборочным данным рассчитываем выборочное
корреляционное отношение
,
где
и
.
Значения
лежащие в интервале
,
являются показателями тесноты группировки
точек около кривой регрессии независимо
от её вида (формы связи). Если зависимость
является линейной то корреляционное
отношение совпадает с коэффициентом
корреляции:
.
Если
зависимость является нелинейной то
.
Пример 56. Вычислить корреляционное отношение по выборке
|
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
|
10 |
4 |
0 |
1 |
4 |
10 |
20 |
32 |
50 |
69 |
Предполагая
что, зависимость между переменными
имеет вид:
.
Решение. Согласно методу наименьших квадратов для определения коэффициентов имеем систему уравнений
Составим расчетную таблицу для расчётов параметров зависимости
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
10 |
4 |
8 |
16 |
20 |
40 |
100 |
2 |
4 |
4 |
16 |
64 |
256 |
16 |
64 |
16 |
3 |
6 |
0 |
36 |
216 |
1296 |
0 |
0 |
0 |
4 |
8 |
1 |
64 |
512 |
4096 |
8 |
64 |
1 |
5 |
10 |
4 |
100 |
1000 |
10000 |
40 |
400 |
16 |
6 |
12 |
10 |
144 |
1728 |
20736 |
120 |
1440 |
100 |
7 |
14 |
20 |
196 |
2744 |
38416 |
280 |
3920 |
400 |
8 |
16 |
32 |
256 |
4096 |
65536 |
512 |
8192 |
1024 |
9 |
18 |
50 |
324 |
5832 |
104976 |
900 |
16200 |
2500 |
10 |
20 |
69 |
400 |
8000 |
160000 |
1380 |
27600 |
4761 |
|
110 |
200 |
1540 |
24200 |
405328 |
3276 |
57920 |
8918 |
Получаем систему уравнений
Следовательно,
зависимость имеет вид
.
Найдём значение корреляционного
отношения, для этого составим таблицу
№ |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
10 |
10,24546 |
100 |
95,15113 |
2 |
4 |
4 |
3,706064 |
256 |
265,4924 |
3 |
6 |
0 |
0,431824 |
400 |
382,9135 |
4 |
8 |
1 |
0,422736 |
361 |
383,2693 |
5 |
10 |
4 |
3,6788 |
256 |
266,3816 |
6 |
12 |
10 |
10,20002 |
100 |
96,03969 |
7 |
14 |
20 |
19,98638 |
0 |
0,000185 |
8 |
16 |
32 |
33,0379 |
144 |
169,9869 |
9 |
18 |
50 |
49,35458 |
900 |
861,6911 |
10 |
20 |
69 |
68,9364 |
2401 |
2394,771 |
|
110 |
200 |
200,0002 |
4918 |
4915,697 |
Тогда
корреляционное отношение равно
.
Коэффициент
корреляции равен
и
