55. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства

В реальном мире многие явления природы происходят в обстановке действия многочисленных факторов, влияние каждого из них ничтожно, а число их велико. В этом случае связь теряет свою однозначность, и изучаемая физическая система переходит не в определенное состояние, а в одно из возможных для неё состояний. Здесь речь может идти лишь о статистической связи. Знание статистической зависимости между случайными переменными имеет большое практическое значение: с её помощью можно прогнозировать значение случайной переменной в предположении, что независимая переменная примет определённое значение.

Статистические связи между переменными можно изучать методом корреляционного и регрессионного анализа. Основная задача корреляционного анализа - выявление связи между случайными переменными путём точечной и интервальной оценки парных коэффициентов корреляции, вычисления и проверки значимости коэффициентов корреляции. Корреляционный анализ позволяет оценить функцию регрессии одной случайной величины на другую. Предпосылки корреляционного анализа следующие: 1) переменные величины должны быть случайными; 2) случайные величины должны иметь нормальное распределение.

Выборочный коэффициент корреляции находится по формуле

Выборочный коэффициент корреляции оценивает тесноту линейной связи.

Свойства выборочного коэффициента корреляции:

Коэффициент корреляции принимает значения на интервале .

Доказательство. Докажем справедливость утверждения для дискретных переменных. Запишем явно неотрицательное выражение . Возведём выражение под знаком суммы в квадрат . Первое и третье слагаемые равны единице по определению дисперсии. Таким образом: , откуда .

Выборочный коэффициент корреляции не зависит от выбора начала точки отсчёта и единицы измерения, то есть для любых выполнено равенство

Выборочный коэффициент можно вычислять по формуле .

Доказательство. По определению

	2	2	3	5
	4	6	6	8

Пример 50. Вычислить выборочный коэффициент корреляции по следующим данным:

Решение. Вычислим

56. Метод вычисления выборочного коэффициента

корреляции для вариационных рядов

Для вычисления выборочного коэффициента корреляции строят корреляционную таблицу. Для этого разбиваем каждый вариационный ряд на интервальный. Затем находятся входящие в формулу для вычисления выборочного коэффициента корреляции параметры.

Пример 51. По данным наблюдений над случайными величинами X и Y получена выборка, приведённая в таблице

№	X	Y	№	X	Y	№	X	Y	№	X	Y
1	7,1	10,0	14	14,8	35,3	27	10,9	18,2	40	16,1	30,1
2	9,5	6,7	15	17,2	36,3	28	11,4	18,7	41	18,2	27,2
3	11,0	14,0	16	19,2	37,4	29	12,3	17,6	42	19,1	30,9
4	12,3	15,1	17	22,3	38,0	30	13,2	18,1	43	17,9	35,1
5	11,8	24,2	18	17,2	40,2	31	13,1	24,1	44	18,7	36,1
6	14,1	19,9	19	19,9	42,4	32	13,6	21,3	45	12,4	17,6
7	15,1	24,3	20	20,1	44,5	33	13,7	19,8	46	12,5	18,6
8	14,7	22,2	21	21,7	42,4	34	14,6	24,1	47	12,7	19,2
9	16,1	21,0	22	8,5	12,2	35	14,2	21,3	48	14,1	26,2
10	13,1	30,1	23	9,7	12,4	36	15,2	25,2	49	14,6	27,4
11	13,8	28,1	24	10,2	12,5	37	16,1	21,1	50	14,9	30,1
12	16,9	30,3	25	11,1	12,9	38	17,2	24,6
13	19,1	27,3	26	11,3	16,1	39	18,0	23,3

Найдём оптимальные длины интервалов и количество интервалов, используя формулу Стэрджеса. Для переменной Х наименьшее значение - 7,1 наибольшее - 22,3, тогда оптимальное число интервалов равно 7 с шагом, равным 2,2, при этом получаем такие интервалы:

. Для переменной У минимальное значение - 6,7 наибольшее - 44,5, тогда оптимальное число интервалов 6 с шагом, равным 6,3. Получаем интервалы . Распределим наблюдения по полученным интервалам получим корреляционную таблицу. В таблицу вместо интервалов запишем их середины