Закон больших чисел

25. Лемма Маркова

Т. 1. Для любой положительной случайной величины Х вероятность того, что она примет значение, не превосходящее некоторого положительного числа , больше разности между единицей и отношением математического ожидания этой случайной величины к данному числу : .

Доказательство. Проведём доказательство для дискретной случайной величины способом, получившим название метода урезания. Пусть - упорядочная совокупность всех значений, принимаемых положительной случайной величиной Х с соответствующими вероятностями причём . Не нарушая общности доказательства, можно допустить, что значения случайной величины Х расположены в порядке убывания. Выберем некоторое произвольное число и предположим, что первые r значений совокупности больше . Так как по условию случайная величина Х принимает только положительные значения, то можно записать неравенство

. По определению математического ожидания , следовательно . Заменяя в левой части неравенства значения переменных числом , получаем следующее усиленное неравенство или . Левая часть этого неравенства выражает вероятность того, что случайная величина принимает значения, большие , то есть .

Вероятность противоположного события, а именно вероятность того, что случайная величина примет значения не больше , определяется следующим неравенством: .

Лемма Маркова справедлива для любого распределения положительной случайной величины.

Пример 32. Среднее число студентов в группе, получивших на экзамене неудовлетворительные оценки, равно пяти. Оценить вероятность того, что в наудачу взятой группе будет более восьми двоек.

Решение. Используем неравенство Маркова. По условию задачи имеем . Тогда искомая вероятность равна или .

26. Неравенство Чебышева

Т. Если случайная величина Х имеет конечные математическое ожидание и дисперсию, то для любого положительного числа справедливо неравенство , то есть вероятность того, что отклонение случайной величины Х от своего математического ожидания по абсолютной величине не превзойдёт , больше разности между единицей и отношением дисперсии этой случайной величины к квадрату .

Доказательство. Воспользуемся леммой Маркова. Рассмотрим случайную величину , для некоторых значений которой выполняется неравенство . Так как случайная величина Z положительна, то неравенства и равносильны. Применив лемму Маркова к случайной величине , получим

. Числитель дроби в правой части неравенства по определению есть дисперсия случайной величины Х, следовательно, неравенство можно записать в виде . Так как в силу равносильности соответствующих неравенств вероятности и равны, то .

Неравенство Чебышева, как и неравенство Маркова, справедливо для любого распределения случайной величины Х, однако неравенство Чебышева применимо как к положительным, так и к отрицательным случайным величинам.

Полагая , запишем неравенство в виде

или .

Задаваясь различными значениями t, вычислим верхние границы вероятностей того, что отклонение случайной величины выйдет за пределы : при ;

; . Вероятности рассматриваемых событий не могут превысить этих числовых значений ни при каком распределении случайной величины.