50.Ошибки, допускаемые при проверке статистических гипотез

Уровень значимости статистического критерия

О.1. Ошибкой первого рода называется ошибка отклонения верной нулевой гипотезы .

О.2. Уровнем значимости статистического критерия называется вероятность совершения ошибки первого рода.

Отклонение нулевой гипотезы при уровне значимости означает, что, отклоняя эту гипотезу, мы или не ошибаемся (то есть гипотеза действительно ложная), или всё-таки совершаем ошибку первого рода, считая правильную гипотезу ложной. В последнем случае частота принятия ошибочного решения равна в среднем 5 из 100 случаев применения данного статистического критерия.

О.3. Ошибкой второго рода называется ошибка принятия ложной гипотезы .

Вероятность совершения ошибки второго рода принято обозначать .

О.4. Мощностью М критерия К называется вероятность несовершения ошибки второго рода (мощность критерия К - это вероятность отклонения неверной гипотезы ).

51. Проверка гипотезы о равенстве математических

ожиданий двух нормальных генеральных

совокупностей при известной дисперсии

Проверка гипотез о равенстве двух центров распределения имеет важное практическое значение. Действительно, иногда оказывается, что средний результат одной серии экспериментов заметно отличается от среднего результата другой серии. При этом возникает вопрос: можно ли объяснить обнаруженное расхождение средних случайными ошибками экспериментов или оно вызвано какими-либо незамеченными или даже неизвестными закономерностями.

Сформулируем задачу сравнения двух центров распределения в общем виде. Рассмотрим две случайные величины и , каждая из которых подчиняется нормальному закону распределения. Пусть имеются две независимые выборки объёмами и из генеральных совокупностей и . Необходимо проверить гипотезу , заключающуюся в том, что , относительно альтернативной гипотезы , состоящей в том, что .

Так как в рассматриваемом случае дисперсии генеральных совокупностей и известны, а о значениях математических ожиданий и ничего неизвестно, то для проверки гипотезы используем их оценки и . Как известно, выборочные средние и имеют нормальный закон распределения с параметрами и . Выборки независимы, поэтому и также независимы и случайная величина, равная разности между и , имеет нормальное распределение, причём . Если гипотеза справедлива, то , следовательно, нормированная разность подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Выбирая вероятность из соотношения находим статистику , которая разделит множество на два непересекающихся подмножества: область допустимых значений и критическую область. Те значения , при которых , образуют область допустимых значений; значения , для которых , определяют критическую область. Иными словами, если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу или при заданном уровне значимости можно считать, что , если - то нулевую гипотезу отвергаем в пользу конкурирующей или при заданном уровне значимости можно считать что математические ожидания генеральных совокупностей различны.