52. Сравнение выборочных средних при неизвестной

дисперсии генеральной совокупности.

Рассмотрим две случайные величины и , каждая из которых подчиняется нормальному закону распределения с математическими ожиданиями и . Условимся считать, что , числовое значение неизвестно. Пусть имеются две независимые выборки объёмами и из генеральных совокупностей и . Необходимо проверить гипотезу , заключающуюся в том, что , относительно альтернативной гипотезы , состоящей в том, что . Для оценки и используем их оценки и , а для оценки выборочные оценки: и .

Так как генеральные совокупности и имеют одинаковые дисперсии, то для оценки целесообразно использовать результаты обеих выборок. В математической статистике доказано, что лучшей оценкой для в данном случае является . В качестве выборочной оценки обычно принимают оценку . Известно, что если случайная величина подчиняется нормальному закону, то статистика

имеет - распределения Стьюдента с степенями свободы. Если гипотеза справедлива, то статистику t можно записать в виде: . Выбрав вероятность , по таблице -распределения можно определить критическое значение , для которого . Если вычисленное значение , то с надёжностью можно считать расхождение средних значимым (неслучайным).

Пример 46. В результате двух серий измерений с количеством измерений и получены следующие выборочные средние и а также исправленные дисперсии . Можно ли с надёжностью объяснить случайными причинами?

Решение. Вычислим исправленную дисперсию , вычисляем наблюдаемое значение статистики . Вероятности и числу степей свободы в таблице t – распределения (см. приложение табл.3) соответствует . Так как 1,38<2,649, то с надежностью 0,99 нельзя считать расхождение средних значимым, или при уровне значимости 0,99, можно считать, что математические ожидания .

53.Сравнение выборочных дисперсий

Гипотезы о дисперсиях имеют особенно большое значение в технике, так как измеряемая дисперсией величина рассеяния характеризует такие важные показатели, как точность машин, приборов, технологических процессов.

Сформулируем гипотезу о равенстве дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Рассмотрим две случайные величины и , каждая из которых подчиняется нормальному закону распределения с дисперсиями и . Пусть из генеральных совокупностей и извлечены две независимые выборки объёмами и . Проверим гипотезу о том, что относительно альтернативной гипотезы , заключающейся в том, что . Для оценки используем исправленную выборочную дисперсию , а для оценки - исправленную выборочную дисперсию , следовательно, задача проверки гипотезы сводится к сравнению дисперсий и . Как показано ранее, случайные величины и распределены по закону с и степенями свободы. Случайную величину , определяемую соотношением , называют случайной величиной с распределением Фишера-Снедекора. Заметим, что всегда можно так ввести обозначения, что , поэтому случайная величина принимает значения, не меньшие единицы. Дифференциальный закон распределения случайной величины не содержит неизвестных параметров и их оценок, а зависит лишь от числа наблюдений в выборках и . Этот факт позволяет составить таблицы распределения случайной величины , в которых различным значениям уровня значимости и различным сочетаниям величин и ставят в соответствие такие значения , для которых справедливо равенство .

Сформулируем правило вычислив исправленные выборочные дисперсии и , найдём их отношение , причём в числителе запишем большую из них. Затем, выбрав необходимый уровень значимости , по таблице -распределения находим число , которое сравниваем с вычисленным . Если окажется, что , то проверяемая гипотеза отвергается (различие между дисперсиями значимо), если , то выборочные наблюдения не противоречат проверяемой гипотезе.

Пример 47. На двух станках обрабатываются детали. Отобраны две пробы: на первом станке , на втором станке . По данным этих выборок рассчитаны исправленные выборочные дисперсии (для первого станка) и . Проверить при уровне значимости гипотезу о том, что станки обладают одинаковой точностью, или гипотезу : дисперсии равны.

Решение. Вычислим значение . Затем по уровню значимости и степеням свободы по таблице (см. приложение табл. 6) находим число . Итак имеем 1,68<2,65, следовательно, предположение о равенстве дисперсий не противоречит наблюдениям, иными словами, нет оснований считать, что станки обладают разной точностью.