45. Понятие доверительного интервала.

Доверительная вероятность

Оценку неизвестного параметра генеральной совокупности одним числом называют точечной оценкой. Наряду с точечным оцениванием статистическая теория занимается вопросами интервального оценивания. Задачу интервального оценивания в самом общем случае можно сформулировать так: по данным выборки построить числовой интервал, относительно которого с заранее выбранной точностью можно сказать, что внутри находится числовой параметр. Интервальное оценивание особенно необходимо при малом числе наблюдений, когда точечная оценка мало надёжна.

О.1. Доверительным интервалом для параметра называют такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью , близкой к единице, утверждать, что содержит неизвестное значение параметра , то есть .

Чем меньше для выбранной вероятности разность , тем точнее оценка неизвестного параметра , и на оборот, если этот интервал велик, то оценка, произведенная с его помощью, мало пригодна для практики. Концы доверительного интервала и зависят от элементов выборки, поэтому их значения могут меняться от выборки к выборке. Вероятность принято называть доверительной вероятностью, а число - уровнем значимости.

46. Доверительный интервал для математического

ожидания при известной дисперсии генеральной совокупности

Пусть случайная величина Х распределена нормально, причём среднее квадратическое отклонение этого распределения известно. Требуется построить доверительный интервал для неизвестного математического ожидания с заданным уровнем значимости . Ранее показано, что выборочное среднее распределено нормально с параметрами , нормированное отклонение распределено также нормально с параметрами и . Поэтому вероятность любого отклонения может быть вычислена по формуле . Для заданной доверительной вероятности имеем или затем по таблице функции находим . Преобразуем формулу к удобному виду или

,

откуда .

Таким образом, с вероятностью (надёжностью) можно утверждать, что интервал является доверительным для оценки математического ожидания.

Пример 43. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением . Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания по выборочной средней , если объём выборки и доверительная вероятность .

Решение. Используя соотношение ,

по таблице (см. приложение таб.2) находим . Вычисляем , следовательно, доверительный интервал имеет вид или .

47. Доверительный интервал для

математического ожидания при неизвестной

дисперсии генеральной совокупности

Пусть случайная величина Х распределена нормально, причём среднее квадратическое отклонение этого распределения неизвестно. Требуется построить доверительный интервал для неизвестного математического ожидания с заданным уровнем значимости . Как показано ранее, случайная величина распределена по закону Стьюдента, поэтому, выбрав вероятность р и зная объём выборки п, можно по таблице найти такое , что . Проведём преобразование формулы, позволяющее оценить :

или

откуда . Поэтому с вероятностью (надёжностью) можно утверждать, что интервал

является доверительным для оценки неизвестного математического ожидания .

Пример 44. Пусть требуется построить доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания при .

Решение. По таблице (см. приложение табл. 3) значениям соответствует , поэтому или . Окончательно, имеем .