Преобразование схемы соединения звезда в треугольник и обратное преобразование.

Соединение трех сопротивлений, имеющее вид трехлучевой звезды называют соединением звезда, а соединение трех сопротивлений так, что они образуют собой стороны треугольника - соединением треугольник.

I₁

1

R₁

R₃ O R₂

3 2

I₃ I₂

(А) Рис. 1.37 (б)

В узлах 1, 2, 3 (потенциалы их ₁, ₂, ₃) треугольник и звезда соединяются с остальной частью схемы.

Часто при расчете электрических цепей оказывается полезным преобразовать треугольник в звезду и наоборот. Если преобразования выполнить таким образом, что при одинаковых значениях потенциалов одноименных точек треугольника и звезды подтекающие к этим точкам токи одинаковы, то вся внешняя схема будет эквивалентна замененной.

Выведем формулы преобразований. С этой целью выведем токи I₁, I₂, I₃ в звезде и треугольнике через разности потенциалов точек и соответствующие проводимости.

Для звезды: I₁+I₂+I₃=0 (1)

В то же время

I₁=(₁-₀)g₁

I₂=(₂-₀)g₂ (2)

I₃=(₃-₀)g₃

Подставим (2) в (1) и найдем ₀

₁g₁ + ₂g₂ + ₃g₃ – ₀(g₁+g₂+g₃)=0 ;

.

Подставим ₀ в (2) для I₁:

. (3)

Для треугольника в соответствии с обозначениями на рисунке:

I₁=I₁₂ – I₃₁=(₁ – ₂)g₁₂ – (₃ – ₁)g₁₃=

=₁(g₁₂+g₁₃) – ₃g₁₃ – ₂g₁₂ . (4)

Так как ток I₁ в схеме треугольника должен быть равен I₂ в схеме звезды при любых значениях потенциалов ₁, ₂, ₃, то коэффициент при ₂ в правой части (4) должен быть равен коэффициенту при ₂ в правой части (3). Аналогично и коэффициент при ₃ в правой части (4) должен быть равен коэффициенту при ₃ в (3).

Следовательно,

(5)

Формулы (5) дают возможность найти проводимости сторон треугольника через проводимости лучей звезды.

Из (5)

;

где m=R₁R₂+ R₂R₃+ R₃R_{1 ;}

;

(6)

.

Из (6) можно получить и обратные значения R₁, R₂, R₃ через R₁₂, R₁₃, R₂₃ :

Полезность преобразования треугольника в звезду можно пояснить, например, схемой на рисунке. На рис. 1.39 (а) изображена схема до преобразования, на рис. 1.39 (б) – схема после преобразования.

Пунктиром на схеме а) обведен преобразуемый треугольник.

R₁₂

R₁₃ R₂₃

R₁ R₂

R₃

(а) (б)

Рис. 1.38

Расчет токов для схемы б) проще, например, методом узловых потенциалов.

В полезности преобразования звезды в треугольник можно убедиться на примере схемы следующего рисунка. Пунктиром обведена преобразуемая в преугольник звезда.

(а) (б)

Рис. 1.39

В итоге сложная схема приводится к последовательным и параллельным соединениям сопротивлений.