I₁ R₃

I2 i3

E₁ R₂

R₄

R₁ E₂

Рис. 1.10

Пример 1:

E ₁ =90 В.

E₂ = 64 В.

R ₁ = 6 Ом.

R ₂ = 4 Ом.

R ₃ = 3 Ом.

R ₄ = 1 Ом.

Найти токи В схеме: N_в = 3; N_вит = 0; N_у = 2.

По первому закону Кирхгофа: I₁ + I₂ = I_3.

Положительные направления обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

По второму закону Кирхгофа:

I₁R₁ – I₂R₂ = E₁ + E₂

“+” т.к. I ₁ совпадает с направлением обхода контура

I₂R₂ + I₃ (R₃ +R₄ ) =–E₂ .

Совместное решение полученных уравнений дает результат:

I₁= 14 А; I₂ = ­–15 А; I₃ = –1 А.

В данном случае действительные токи I₂ и I₃ проходят в обратном направлении.

Вторым законом Кирхгофа можно пользоваться для определения напряжения между двумя произвольными точками схемы. В этом случае необходимо ввести в левую часть уравнений искомое напряжение вдоль пути, как бы дополняющего незамкнутый контур до замкнутого.

Пример 2: пользуясь законами Кирхгофа написать два выражения для тока I₀ в ветви с амперметром, приняв в первом случае известным ток I, а в другом напряжение U.

Дано: все сопротивления (включая R₀ ), U или I, а E не задано.

Найти: I₀

R₁ R₂

I₁ I₀

А I₂

R₃ R₀ R₄

I₃ I₄ I

Rвт e u

Рис. 1.11

Решение:

На основании второго закона Кирхгофа напишем для заданной схемы с шестью неизвестными токами уравнения:

I₁ + I₃ – I = 0 (для узла 1)

I₂ + I₀ – I₁ = 0 (для узла 2)

I – I₂ – I₄ = 0 (для узла 3)

R₁I₁ + R₀I₀ – R₃I₃ = 0 (контур 1241)

R₂I₂ – R₄I₄ – R₀I₀ = 0 (контур 2342)

R₃I₃ + R₄I₄ – U = 0 (контур 1431)

Решив совместно эти уравнения, получим выражения для тока I₀ при заданном напряжении U:

и при заданном токе:

Метод контурных токов.

Для практических расчетов электрических цепей разработаны методы более экономичные (по затратам времени и труда), чем метод расчета цепей по законам Кирхгофа.

Метод контурных токов является одним из методов расчета сложных электрических цепей, которым пользуются на практике. Метод заключается в том, что вместо токов в ветвях на основании II закона Кирхгофа определяются так называемые контурные токи, замыкающиеся в контурах. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по II закону Кирхгофа.

Можно предложить следующую последовательность решения задачи:

1. Наметить в заданной ветви N_в – N_вит – N_у + 1 независимых контуров.

2. Для каждого выбранного контура произвольно задать направление протекания соответствующего контурного тока, принятое за положительное, с указанием цифрового индекса тока (например, i_k1, i_k2 и т.д.).

3. С учетом выбранного направления контурных токов для каждого контура составить соответствующие уравнения на основании II закона Кирхгофа.

4. Определить истинные токи во всех ветвях. Они будут равны контурным токам (в несмежных ветвях) или алгебраическим суммам соответствующих контурных токов (в смежных ветвях).

Если в результате решения системы уравнений какой-либо контурный ток окажется отрицательным, то это означает, что в действительности направление контурного тока обратно принятому за положительное.

Пример: Пусть в левом контуре I₁₁; в правом – I₂₂. Составим уравнения

по II закону Кирхгофа. По смежной ветви течет ток I₁₁-I₂₂. Направление обхода также примем по часовой стрелке.

R₂ R₃

R₁ R₅ R₄

I₁₁ I₂₂

E₁ E₅ E₄

Рис. 1.12

Примечание:

Для схем с источниками тока полагаем, что каждая ветвь с источником тока входит в контур, замыкающийся через ветви с источниками ЭДС и сопротивлениями и что эти токи известны и равны токам соответствующих источников тока. Уравнения составляют лишь для контуров с неизвестными контурными токами.

Если для схемы, представленной на рис. 1.13 принять, что контурный ток I₁₁=I_k течет согласно направлению по часовой стрелки по I и II ветвям, а контурный ток I₂₂=I₃ замыкается также по часовой стрелки по II и III ветвям, то согласно методу контурных токов получим первое уравнение с неизвестным током I₂₂:

R₂ I₁ I₃ R₃

I₂

I₁₁ R₅ I₂₂ R₄

I_к E₄

Рис. 1.13

Систему полученных уравнений иногда записывают в матричном виде. Например, для схемы с числом контуров больше двух система уравнений в общем виде выглядит:

или в матричной форме: [R] * [I]=[E];

Решить систему уравнений можно любым способом, например, методом Крамера, согласно которому ток в I контуре:

, где

Пример: Найти токи в схеме рис. 1.14.

10 10

i_cm i_am

5 I₂₂ 2

5 2

I₁₁ I₃₃

4 10 8 1

Рис. 1.14

Выбираем направление всех контурных токов I₁₁, I₂₂, I₃₃ по часовой стрелке.

R₁₁=5+5+4=14 Ом; R₂₂=17 Ом; R₃₃=5 Ом; R₁₂=R₂₁=-5 Ом; R₁₃=R₃₁=0; R₂₃=R₃=-2 Ом; E₁₁=-10 В; E₃₃=-8 В.

Знаки взаимных сопротивлений будут отрицательны, если токи в смежных контурах ориентированы в одном и том же направлении(например, по часовой стрелке), то есть встречно на этом элементе и наоборот.

14I₁₁-5I₂₂= -10

-5I₁₁+17I₂₂-2I₃₃=10

-2I₂₂+5I₃₃=-8

14 -5 0

= -5 17 –2 = 1009 ;

0 –2 5

-10 –5 0

I₁₁= +10 17 –2 / = -0.634 A ;

-8 –2 5

I₂₂=0.224 A; I₃₃=-1.51 A ;

I_cm=I₁₁-I₂₂=-0.86 A ;

I_am=I₂₂-I₃₃=1.734 A .