Метод узловых потенциалов.

Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называется методом узловых потенциалов.

Он основан на применении первого закона Кирхгофа и Ома. Используя их, выйдем на него.

Рассмотрим, например, электрическую схему на рис. 1.18 :

i₆ r₆

1 2

i₅ r₅ E₅ i₂

E₁ r₄ i₃ r₃ r₂

i₃

r₁ i₄ E₃ E₂

i₁ 3 3

Рис. 1.18

Пусть потенциал одного из узлов, например узла 3, равен нулю (₃=0). Такое допущение не изменяет условий задачи, так как ток в каждой ветви зависит не от абсолютных значений потенциалов узлов, к которым присоединена ветвь, а от разности потенциалов между концами ветви.

Для первого и второго узлов запишем уравнения на основании I закона Кирхгофа при выбранных положительных направлениях токов.

I₅ – I₄ – I₁ + I₆ = 0

-I₅ – I₆ – I₂ + I₃ = 0

Согласно закону Ома:

I₆ = (₁ – ₂) · g₆

I₁ = (-₁ + E₁) · g₁

I₄ =-₁ · g₄

I₅ = (₁ – ₂ + E₅) · g₅

I₃ = (₂ + ₃) · g₃

I₂ = (-₂ + E₂) · g₂

После подстановки получим:

₁ · (g₆+g₅+g₄+g₁) – ₂ · (g₆+g₅) = E₁g₁ – E₅g₅

-₁ · (g₆+g₅) + ₂ · (g₆+g₅+g₂+g₃) = E₅g₅ + E₂g₂ – E₃g₃

Или кратко:

(1)

,где

g₁₁ и g₂₂ – суммы проводимостей ветвей, присоединенных соответственно к узлам 1 и 2,

g₂₁=g₁₂=g₅+g₆ – сумма проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы.

Сущность метода узловых потенциалов заключается в составлении подобных уравнений для узлов схемы. После чего, найдя потенциалы, можно определять токи в ветвях используя закон Ома. Правая часть каждого из уравнений (1) равна алгебраической сумме произведений ЭДС в каждой ветви на соответствующую проводимость ветви, присоединенной к рассматриваемому узлу. Произведение вида E·g записывается с положительным знаком в том случае, если ЭДС направлена к узлу, для которого записывается уравнение, и с отрицательным, если ЭДС направлена от узла. Эти уравнения не зависят от выбранных положительных направлений токов в ветвях.

Когда число узлов без 1 меньше числа независимых контуров в схеме, данный метод является более экономичным, чем метод контурных токов. Если электрическая схема содержит не только источники ЭДС, но и источники тока, то в уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, войдут и токи источников тока. При составлении уравнения (1) на основании метода узловых потенциалов токи заданных источников тока учитываются для каждого узла в виде слагаемых в правой части. Причем (как было отмечено выше) с положительными знаками должны быть взяты токи источников тока, направленные к узлу, с отрицательными – от узла.

i₃ r₃

1 2

i₁ i₅ r₅ i₄ r₆ i₂

r₁ r₄ r₂

I

E₁ E₄ E₂

4

Рис. 1.19

Например, для узлов 1, 2, 3 схемы, представленной на рис. 1.19:

g₁₁₁ – g₁₂₂ – g₁₃₃ = I + E₁g₁

-g₂₁₁ + g₂₂₂ – g₂₃₃ = E₂g₂

-g₃₁₁ – g₃₂₂ + g₃₃₃ = E₄g₄ , где

g₁₁ = g₁+g₅+g₃;

g₂₂ = g₂+g₃+g₆;

g₃₃ = g₄+g₅+g₆;

g₁₂ = g₂₁ = g₃;

g₁₃ = g₃₁ = g₅;

g₂₃ = g₃₂ = g₆.

В общей форме для любого узла p при _j =0:

Можно предложить следующий порядок решения задачи, используя метод узловых потенциалов:

1. Принять потенциал одного из узлов схемы равным нулю

2. Для узлов, оставшихся незаземленными, составить уравнения на основе метода узловых потенциалов

3. Решить систему линейных уравнений и найти потенциалы узлов.

4. Найти искомые токи в ветвях.

Пример: Дана электрическая цепь(рис. 1.20), в которой заданы Е₁, Е₂, Е₃; I; R₁, R₂, R₃, R₄, R₅. Определить ток через R₅.

Рис. 1.20

Решение:

Заземлим узел 3, тогда для узлов 1 и 2 можно составить следующую систему:

₁(g₂+g₁+g₃) – ₂(g₂+g₃) = I + E₁g₁ + E₃g₃

₁(g₂+g₃) + ₂(g₂+g₄+g₅+g₃) = -E₂g₂ – E₃g₃

Решим систему уравнений, используя метод Крамера:

После нахождения потенциала ₁ не составляет труда найти ток через R₅

(с учетом выбранного положительного направления).