Метод двух узлов

Часто встречаются схемы, содержащие 2 узла.

Например:

a

I₁ I₂ E₃

R₁ R₂ R₄

I₃

E₁ R₃ I₄

Рис. 1.21

Под методом двух узлов понимают метод, в котором за искомое принимается напряжение между двумя узлами схемы. Его можно рассматривать как частный случай метода узловых потенциалов.

После определения U_аб находим ток в любой ветви по формуле:

I_n=(E_n – U_аб)g_n.

Методы, основанные на применении теорем об эквивалентных источниках:

1. Метод расчета, основанный на применении теоремы об эквивалентном источнике напряжения (теорема Тевенена)

2. Метод расчета, основанный на применении теоремы об эквивалентном источнике тока (теорема Нортона)

Теорема Тевенена:

Любой линейный источник может быть представлен в виде эквивалентной схемы, состоящей из двух последовательно соединенных элементов: идеального источника напряжения, ЭДС которого равна напряжению холостого хода (U_хх) исходного линейного источника, и линейного резистора, сопротивление которого равно внутреннему сопротивлению исходного источника.

R_э

Е_э U_xx=|E_э|=|U₀|

Рис. 1.22

Схема эквивалентного источника напряжения

Теорема Нортона:

Любой линейный источник может быть представлен в виде эквивалентной схемы, состоящей из двух параллельно соединенных элементов: идеального источника тока, величина которого равна току короткого замыкания исходного линейного источника, и линейного резистора, сопротивление которого равно внутреннему сопротивлению исходного источника.

I_э R_э I_кз=|I_э|=|I₀|

Рис. 1.23

Схема эквивалентного источника тока

Данные методы расчета удобно применять в следующих случаях:

1. Когда ставиться задача нахождения тока в какой-либо одной избранной ветви цепи, причем в дальнейшем, возможно, предполагается рассмотреть, как будет изменяться ток в этой ветви при изменении параметров элементов ветви.

2. Когда необходимо найти напряжение между некоторыми двумя точками цепи с вариацией параметров так называемой «нагрузки», подключаемой к этим точкам (в том числе и вариант холостого хода, когда сопротивление нагрузки стремится к бесконечности).

В любом из этих случаев часть цепи остается неизменной. Следовательно, эту часть цепи заранее можно свернуть по теореме Тевенена или Нортона к одной из двух простейших эквивалентных схем. В дальнейшем же производить требуемые расчеты для предельно простой цепи, представляющей собой систему «простейшая эквивалентная схема + избранная ветвь». В частном случае может просто ставится задача нахождения параметров эквивалентной схемы линейного активного двухполюсника, представляющего собой достаточно сложную цепь.

Порядок расчета для решения этой задачи:

1. Для заданного двухполюсника

1. при применении теоремы Тевенена указать направление напряжения U между выделенными зажимами, принятое за положительное (режим холостого хода), и изобразить соответствующую эквивалентную схему с учетом выбранного направления.

2. При применении теоремы Нортона организовать режим короткого замыкания между выделенными зажимами (зажимы соединяются проводником) и указать напряжение тока короткого замыкания в этом проводнике, принятое за положительное. Далее изобразить соответствующую эквивалентную схему с учетом выбранного направления тока.

2. Любым известным методом для случая А) рассчитать напряжение холостого хода между выделенными зажимами, а для случая Б) рассчитать ток короткого замыкания в проводнике.

3. Для заданного двухполюсника вычислить его внутреннее сопротивление относительно выделенных зажимов. При этом, естественно, все источники, содержащиеся в схеме двухполюсника, устраняются также как и при использовании метода наложений. Это сопротивление называется выходным или эквивалентным сопротивлением двухполюсника.

Пусть задана схема некоторого линейного активного двухполюсника. Чему равны параметры его эквивалентной схемы по теореме Тевенена и по теореме Нортона?

Пример 1: Преобразовать заданный линейный активным двухполюсник к простейшей эквивалентной схеме по теореме Тевенена и вычислить параметры эквивалентной схемы.

E R₂

I R₁ R₃ U_хх

Рис. 1.24

Решение:

После выбора положительного направления напряжения U между выделенными зажимами двухполюсника изображаем эквивалентную схему по теореме Тевенена.

R_э

Е_э U_хх

Рис. 1.25

В соответствии с выбранным направлением U_хх указываем направление действия ЭДС в источнике E_э. Используем для расчета U_хх принцип суперпозиции.

Рис. 1.26

E R₂

R₁ R₃ U_xx2

Рис. 1.27

Схема для вычисления R_э:

R₂

R₁ R₃

Рис. 1.28

Пример 2: Тот же двухполюсник, что и в примере 1. Преобразовать его к простейшей эквивалентной схеме по теореме Нортона и вычислить ее параметры.

E R₂

I R₁ R₃ i_кз1

Рис. 1.29

Решение:

Выбираем и указываем положительное направление тока короткого замыкания (I_кз). Далее изображаем эквивалентную схему по теореме Нортона и в соответствии с выбранным направлением I_кз указываем направление тока в источнике тока I_э.

I_э R_э

Рис. 1.30

Для расчета I_кз будем использовать принцип суперпозиции:

R₂

I R₁ R₃ i_кз1

Рис. 1.31

E R₂

R₁ R₃ i_кз2

Рис. 1.32

R_э ищется аналогично приведенному в примере 1.

Следовательно, преобразование по теореме Нортона приводит к более простым расчетам по сравнению с расчетами по теореме Тевенена.

Для проверки правильности решения обоих примеров:

E_э=I_эR_э.

Т. о. Метод эквивалентных генераторов основан на замене активного двухполюсника эквивалентным генератором, ЭДС которого равна напряжению холостого хода (U_хх), а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению двухполюсников.

Если ставится задача определения тока в произвольной нагрузке R_н, подключаемой к выходным зажимам линейного активного двухполюсника, свернутого до одной из двух простейших эквивалентных схем, то задача сводится к расчету тривиальных цепей.

R_э

Е_э R_н

I_э R_э R_н

(а) (б)

Рис. 1.33

Схемы эквивалентных источников с подключенной нагрузкой: а) источника ЭДС

б) источника тока

Последовательность расчета тока:

1. Найти U_АБхх

2. Определить Rвх всей схемы по отношению к АБ при закороченном ЭДС.

3. Подсчитать ток по формуле:

Пример: Методами эквивалентного генератора напряжения и эквивалентного генератора тока найти ток в ветви R₅, если Е₁=Е₂=20 В, R₁=R₂=40 Ом, R₃=10 Ом, R₄=160 Ом, R₅=20 Ом.

R₁ E₁

R₅

R₃

R₄

R₂ E₂

Рис. 1.34

Решение:

А) Решим методом эквивалентного генератора напряжения. Для этого исключаем ветвь R₅ и находим параметры эквивалентного генератора, то есть U_xx и внутреннее сопротивление R_г.

R₁ E₁

I₁

R₃ U_xx

R₄

I₂

R₂ E₂

(а)

R₁

R₃

R₄

R₂

(б)

R_г

R₅

E_г I₅

(в)

R₁ E₁

R₃

R₄ I_кз

R₂ E₂

(г)

I R_г R₅

I₅

(д)

Рис. 1.35

Схема эквивалентного генератора напряжения приведена на рис. 1.35 в).

ЭДС эквивалентного генератора и его сопротивление равны:

Искомый ток можно найти по формуле:

б) При расчете методом эквивалентного генератора тока ветвь R₅ закорачиваем (рис. 4 г). Ток I_кз ,проходящий по закороченной ветви является током эквивалентного генератора I_кз=I. Найдем его.

I’₁ R₁ E₁ 1

I’₃

3 R₃

R₄

2

R₂ E₂

Рис. 1.36

Это можно сделать, рассчитав двухузловую схему рис. 1.35 д). Методом узловых потенциалов. Приняв потенциал точек 1 и 2 равным нулю (₁=₂=0), найдем _с:

Для определения тока I_кз=I вычисляем I’₁ и I’₃, и по 1-ому закону Кирхгофа:

Сопротивление эквивалентного генератора тока R_г равно сопротивлению эквивалентного генератора напряжения. Из схемы эквивалентного генератора тока находим искомый ток:

Таким образом получаем тот же результат, что и по методу эквивалентного генератора напряжения.