Решение

Найдем собственный вектор Х, отвечающий собственному зна­чению λ = 1, решив уравнение (А - λЕ) = 0. Система уравнений имеет вид: .

С помощью метода Жордана - Гаусса найдем общее решение этой системы:

Х₁ = 2.25, Х₂ = 2.5, Х₃ = с.

Из приведенных вычислений видно, что сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе национальных доходов Х = (2,25с; 2,5с; c), т.е. при соотношении национальных доходов стран 2,25 : 2,5 : 1, или 9 : 10 : 4.

2.4. Модель неймана

Модель Неймана является обобщенной моделью Леонтьева, поскольку допускает производство одного продукта разными способами (в модели Леонтьева каждая отрасль производит один продукт и никакая другая отрасль не может производить этот продукт) [9].

В модели представлено n продуктов и m способов их произ­водства, каждый способ j задается вектором-столбцом затрат a_j и вектором-столбцом выпусков b_j в расчете на единицу интен­сивности процесса: , .

Из векторов затрат и выпуска образуются матрицы затрат и ­выпуска

А = (a₁, a₂, ..., a_m), В = (b₁, b₂, ..., b_m).

Коэффициенты затрат a_ij и выпуска b_ij неотрицательны. Пред­положим, что для реализации любого процесса необходимы затраты хотя бы одного продукта, т.е. для каждого j найдется хотя бы одно i, такое что a_ij > 0, (2.18)

и каждый продукт может быть произведен хотя бы одним спосо­бом, т.е. для каждого i существует некоторое j, такое, что b_ij > 0. (2.19)

Из (2.18) и (2.19) следует, что каждый столбец матрицы А и каждая строка матрицы В должны иметь по крайней мере один положительный элемент.

Обозначим через x_t неотрицательный вектор-столбец интен­сивности производственных процессов , а через p_t - вектор-строку неотрицательных цен p_t = (p₁(t), p₂(t), ..., p_m(t)).

Вектор Y_t = Ах_t - это вектор затрат при заданном векторе ин­тенсивности процессов x_t, а вектор z_t = Вх_t - вектор выпусков.

Модель Неймана описывает замкнутую экономику в том смысле, что для производства продукции в следующем произ­водственном цикле (в год 1) расходуется продукция, произведенная в предыдущем производственном цикле, т.е. в год (t - 1): Ах_t ≤ Bx_t-1, x_t > 0, t = 1, 2, ..., Т. (2.20)

При этом предполагается, что задан первоначальный вектор запасов Вx₀ ≥ 0, Вx₀ ≠ 0. Система (2.12) - это модель Неймана в натуральной форме.

Вопросы и задачи для самостоятельного решения

1. Поясните принципиальную схему межотраслевого баланса.

2. Как распределяется валовая продукция отраслей материаль­ной сферы производства?

3. Каково различие между промежуточной и конечной продук­цией в модели МОБ?

4. Что показывают коэффициенты прямых затрат?

5. Дайте определение коэффициентов полных материальных затрат.

6. При каких условиях модель Леонтьева продуктивна?

7. Раскройте экономическое содержание и укажите способ вы­числения показателей прямой и полной трудоемкости про­дукции.

Задача 2.1. В табл. 2.5 приведены данные об исполнении ба­ланса за отчетный период (у. д. е.).

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой от­расли, если конечный продукт первой отрасли увеличится вдвое, второй отрасли - на 20%, а третьей отрасли сохранится на пре­жнем уровне.

Таблица 2.5

Производство		Отрасль
		Потребление							Конечный продукт		Валовой выпуск
		1	2				3
1		10			5		15		70		100
2	15			15		10		60		100
3	5			10		20		65		100

Задача 2.2. В табл. 2.6 даны коэффициенты прямых затрат a_ij и конечный продукт Y_i. Требуется определить:

1) межотраслевые поставки продукции;

2) проверить продуктивность матрицы А;

3) заполнить схему межотраслевого баланса.

Таблица 2.6

Отрасли	Коэффициенты прямых затрат аij			Конечный продукт Yi
	1	2	3
1	0,1	0,2	0,1	200
2	0,2	0,1	0,0	150
3	0,1	0,2	0,3	250

Задача 2.3. На основании данных, приведенных в табл. 2.7, требуется рассчитать коэффициенты прямых и полных затрат и условно чистую продукцию для промышленности, сельского хо­зяйства и непроизводственной сферы.

Таблица 2.7

№	Отрасли	Промежуточная продукция			Конечная продукция
		Промышленность	Сельское хозяйство	Непроизводственная сфера
1	Промышленность	50	60	80	60
2	Сельское хозяйство	25	90	40	25
3	Непроизводственная сфера	25	60	40	35