УДК 338.24(075.8)

ББК 65.23я73

О66

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Ректор - акад. А.Н. Романов

Председатель научно-методического совета - проф. Д.М. Дайитбегов

Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое по­собие по решению задач. - М.: Вузовский учебник, 2004. - 144 с.

Рассмотрены задачи математического моделирования экономических процессов на базе компьютерных технологий подготовки и принятия реше­ний. В качестве инструментального средства моделирования используется стандартная офисная программа EXCEL.

Учебное пособие предназначено для студентов и аспирантов всех эко­номических специальностей вузов при изучении курса «Экономико-матема­тические методы и прикладные модели» и выполнении выпускных квали­фикационных работ, а также для практических работников, занимающихся анализом текущего финансово-экономического состояния и будущего раз­вития фирм и предприятий.

Введение

Новый Государственный стандарт высшего профес­сионального образования обязывает активизировать лабораторный компонент образования. В требованиях к учебно-методическому обеспечению учебного процесса указано: «Реализация основной образовательной программы подготовки дипломированного спе­циалиста должна включать выполнение студентом лабораторно­-практических работ по дисциплинам специальности, включая как обязательный компонент выполнение практических заданий на персональных компьютерах с использованием пакетов прикладных программ» (Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования, специальность - 060500 Бухгалтерский учет, анализ и аудит).

Учебное пособие составлено в соответствии с требованиями Государственных образовательных стандартов подготовки специа­листов по специальностям «Бухгалтерский учет и аудит», «Менедж­мент», «Финансы и кредит», «Маркетинг», «Экономика труда» и «Государственное и муниципальное управление».

Пособие состоит из четырех глав.

В первой главе «Оптимизационные экономико-математические модели» подробно рассмотрена технология решения задач опти­мального использования ресурсов и специальных задач линейного программирования (транспортная задача, задача о назначениях, задачи целочисленного программирования) с помощью надстройки Excel Поиск решения. Большое внимание уделено анализу полу­ченных оптимальных решений с помощью двойственных оценок.

Изложение практических примеров показывает возможные пути совершенствования учебного процесса за счет передачи ру­тинных вычислений компьютеру. Это позволяет преподавателю направить внимание учащихся на глубокое осмысление изучае­мых явлений, применять активные методы обучения.

Вторая глава «Балансовые модели» содержит описание метода «затраты - выпуск». В ней приведены примеры построения мо­делей международной торговли и межотраслевого баланса.

В третьей главе «Методы и модели анализа и прогнозирования экономических процессов с использованием временных рядов» приведены примеры построения прогнозов с использованием «Пакета анализа»/ Excel.

Четвертая глава - лабораторная работа «Решение задач линей­ного программирования с использованием Microsoft Excel». Она содержит руководство к выполнению лабораторной работы, инструкцию по использованию Microsoft Excel для решения задач и порядок выполнения работы. Все задания для выполнения лабораторных работ имеют выраженное экономическое содер­жание.

Глава 1. Оптимизационные экономико-математические модели

1.1. Общая задача оптимизации. Примеры задач линейного программирования

В экономике оптимизационные задачи возникают в связи с многочисленностью возможных вариантов функциони­рования конкретного экономического объекта, когда возникает ситуация выбора варианта, наилучшего по некоторому правилу, критерию, характеризуемому соответствующей целевой функци­ей (например, иметь минимум затрат, максимум продукции).

Оптимизационные модели отражают в математической форме смысл экономической задачи. Отличительной особенностью этих моделей является наличие условия нахождения оптимального решения (критерия оптимальности), которое записывается в виде функционала. Эти модели при определенных исходных данных задачи позволяют получить множество решений, удовлетворяющих условиям задачи, и обеспечивают выбор оптимального решения, отвечающего критерию оптимальности.

В общем виде математическая постановка задачи математи­ческого программирования состоит в определении наибольшего или наименьшего значения целевой функции f(х_l, х₂, ..., х_n) при условиях g_i (х_l, х₂, ..., х_n) ≤ b_i; (i = 1, 2, ..., m), где f и g_i – заданные функции, а b_i - некоторые действительные числа.

Задачи математического программирования делятся на задачи линейного и нелинейного программирования. Если все функции f и g_i - линейные, то соответствующая задача является задачей линейного программирования. Если хотя бы одна из указанных функций - нелинейная, то соответствующая задача является за­дачей нелинейного программирования.

Линейное программирование - область математики, разраба­тывающая теорию и численные методы решения задач нахожде­ния экстремума (максимума или минимума) линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, т.е. линейных равенств или неравенств, связывающих эти перемен­ные. К задачам линейного программирования сводится широкий круг вопросов планирования экономических процессов, где ста­вится задача поиска наилучшего (оптимального) решения.

Среди задач нелинейного программирования наиболее глубо­ко изучены задачи выпуклого программирования. Это задачи, в результате решения которых определяется минимум выпуклой (или максимум вогнутой) функции, заданной на выпуклом зам­кнутом множестве.

В свою очередь, среди задач выпуклого программирования более подробно исследованы задачи квадратичного программи­рования. В результате решения таких задач требуется в общем случае найти максимум (или минимум) квадратичной функции при условии, что ее переменные удовлетворяют некоторой системе линейных неравенств или линейных уравнений либо некоторой системе, содержащей как линейные неравенства, так и линейные уравнения.

Отдельными классами задач математического программирова­ния являются задачи целочисленного, параметрического и дроб­но-линейного программирования.

В общем виде задача линейного программирования (ЗЛП) ста­вится следующим образом: найти вектор Х = (х_l, х₂, ..., х_n), максимизирующий линейную форму

(1.1) и удовлетворяющий условиям: (1.2) x_j ≥ 0, j = 1, ..., n. (1.3)

Линейная функция f(Х) называется целевой функцией задачи. Условия (1.2) называются функциональными, а (1.3) - прямыми ограничениями задачи.

Вектор Х = (x_l, х₂, ..., х_n) компоненты которого удовлетворяют функциональным и прямым ограничениям задачи, будем назы­вать планом, или допустимым решением ЗЛП.

Все допустимые решения образуют область определения зада­чи линейного программирования, или область допустимых решений. Допустимое решение, максимизирующее целевую функцию f(X), называется оптимальным планом задачи f(X^*) = max f(X),

где Х^* = (x_l^*, х₂^*, ..., х_n^*) - оптимальное решение ЗЛП.

На практике хорошо зарекомендовали себя следующие моде­ли, относящиеся к оптимизационным: определения оптимальной производственной программы; оптимального смешивания ком­понентов; оптимального раскроя; оптимального размещения предприятий некоторой отрасли на определенной территории; формирования оптимального портфеля ценных бумаг; транспорт­ной задачи.

Для решения ЗЛП существует универсальный метод - метод последовательного улучшения плана, или симплекс-метод, кото­рый состоит из двух вычислительных процедур: симплекс-метода с естественным базисом и симплекс-метода с искусственным базисом (М-метод).

Выбор конкретной вычислительной процедуры осуществляет­ся после приведения исходной задачи к каноническому виду за­дачи линейного программирования (КЗЛП):

max f(x_l, х₂, ..., х_n) = ∑c_j∙x_j,

∑a_ij∙x_j = b_j, i = 1, 2, ..., m,

x_j ≥ 0, j = 1, 2, ..., n; b_i ≥ 0, i = 1, 2, ..., m.

Будем считать, что ЗЛП записана в канонической форме, если ее целевая функция максимизируется, ограничения имеют вид равенств с неотрицательной правой частью и все переменные неотрицательные.

В теории линейного программирования показано, что опти­мальное решение ЗЛП связано с угловыми (крайними) точками многогранника решений, которым отвечают опорные планы (неотрицательные базисные решения системы уравнений КЗЛП). Каждый из опорных планов определяется системой m линейно независимых векторов, содержащихся в данной системе из n векторов А₁, А₂, ..., A_n. Верхняя граница количества опорных пла­нов, содержащихся в данной задаче, определяется числом соче­тании .

Решение ЗЛП симплекс-методом «вручную» подробно рассмот­рено в [1], [5] и др.

Рассмотрим несколько примеров задач линейного программи­рования.