14)Вычисление угла между векторами.

Угол между векторами — угол между направлениями этих векторов (наименьший угол).

По определению, угол между двумя векторами находится в промежутке [0°; 180°].

Если векторы перпендикулярны, то угол между ними равен 90º. Если векторы сонаправлены, в частности один из них или оба нулевые, то угол между ними равен 0о. Если противоположно направленные векторы, то угол между ними равен 180º.

Угол между двумя ненулевыми векторами находится с помощью вычисления скалярного произведения. По определению скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними (скалярное произведение для двух векторов с координатами (x1; y1) и (x2; y2) вычисляется по формуле: x1x2 + y1y2).

16)Формула длины вектора в декартовом базисе.

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка, изображающего данный вектор. Длиной нулевого вектора называется число нуль.

Длина вектора на плоскости вычисляется по следующей формуле:

18)Скалярное произведение векторов в декартовом базисе.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению модулей векторов - сомножителей на косинус угла между ними.

Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию второго вектора на первый.

20)Свойства векторного произведения.

1. (антикоммутативность).

2.Векторное произведение равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда сомножители коллинеарны.

3. Модуль векторного произведения неколлинеарных векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на сомножителях.

4.

5. (линейность по первому сомножителю).

22)Задача по вычислению площади треугольника с помощью векторного произведения.

Площадь треугольника со сторонами a, b вычисляется по формуле:

24)Условие коллинеарности векторов.

Два вектора коллинеарные, если отношения их координат равны.

Два вектора коллинеарные, если их векторное произведение равно нулю.

26)Свойства смешанного произведения.

1. При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный

2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.

Первое свойство следует из геометрического свойства 1 и свойств ориентации троек векторов, поскольку от перестановки двух множителей модуль смешанного произведения не изменяется, а меняется только ориентация тройки. При циклической перестановке векторов ориентация тройки не изменяется.

Второе свойство следует из линейности скалярного произведения и свойства 1.

28)Задача о вычислении объема пирамиды с помощью смешанного произведения.

Объем пирамиды, построенной тройке векторов равен

30)Условие компланарности векторов.

Первое условие компланарности именно для трех векторов – это наличие среди трех имеющихся векторов хотя бы одного такого, который был бы нулевым.

Вторым условием является наличие в тройке векторов пары векторов, которые являются компланарными и делают компланарной всю тройку.

Третье условие компланарности логично вытекает из основного, принятым нами за условно базовое определение: линейная зависимость для тройки векторов определяет компланарность этой тройки согласно тому, что компланарность сама по себе и есть такая линейная зависимость.